[논문 리뷰] Infinite families of $2$-designs from two classes of linear codes

Xiaoni Du, Rong Wang외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 03. 18.

graph theory and CDMA systems참고 문헌 16인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 특정 생성 다항식을 가진 순환 코드에서 유도된 확장 코드의 이중 이중 코딩에서 고정된 무게를 가진 코드어의 지지부를 통해 무한한 2-설계의 가닥을 구성한다. 유한체 위의 지수합을 사용하여 무게 분포를 계산함으로써, 저자들은 결과적인 2-설계의 매개변수를 명시적으로 결정하며, 이는 코드 매개변수와 추적 함수에 따라 정확한 블록 크기와 반복 수를 가지는 무한한 가닥임을 입증한다.

ABSTRACT

The interplay between coding theory and $t$-designs has attracted a lot of attention for both directions. It is well known that the supports of all codewords with a fixed weight in a code may hold a $t$-design. In this paper, by determining the weight distributions of two classes of linear codes, we derive infinite families of $2$-designs from the supports of codewords with a fixed weight in these codes, and explicitly obtain their parameters.

연구 동기 및 목표

• 고정된 무게를 가진 코드어의 지지부를 분석하여 선형 코드와 2-설계 사이의 연결 고리를 확립한다.
• 지수합을 사용하여 유한체 위의 두 특정 종류의 선형 코드의 무게 분포를 결정한다.
• 이들 코드에서 고정된 무게를 가진 코드어의 지지부로부터 무한한 2-설계의 가닥을 구성한다.
• 결과적인 2-설계의 매개변수(블록 크기, 블록 수, 반복 수)를 명시적으로 계산한다.

제안 방법

• 저자들은 특정 생성 다항식을 가진 순환 코드에서 유도된 확장 코드의 이중 이중 코딩으로 정의된 두 종류의 선형 코드를 분석한다.
• 각 코드어는 $ a,b,c \in \mathbb{F}_q $, $ h \in \mathbb{F}_p $ 이면 $ (Tr(ax^{p^l+1} + bx + c x)_{x \in \mathbb{F}_q} + h) $ 및 $ (Tr(ax^{p^l+1} + bx)_{x \in \mathbb{F}_q} + h) $ 로 정의되며, 추적 함수 $ Tr: \mathbb{F}_q \to \mathbb{F}_p $ 를 사용한다.
• 각 코드어의 하밍 무게는 $ w_H(\mathbf{c}) = p^m - T(a,b,h) $ 로 표현되며, 여기서 $ T(a,b,h) $ 는 $ Tr(ax^{p^l+1} + bx) + h = 0 $ 의 해의 수를 세는 함수이다.
• 지수합 기법을 적용하여 $ T(a,b,h) $ 를 계산하며, $ \mathbb{F}_p $ 와 $ \mathbb{F}_q $ 에서의 가우스 합과 특성 합을 활용한다.
• 무게 분포는 $ m $ 의 기수성과 $ a^{(q-1)/(p+1)} $ 의 값에 따라 경우를 분류함으로써 유도되며, 이는 이차 잔여물과 레지외드 기호의 성질을 활용한다.
• 고정된 무게를 가진 코드어의 지지부는 2-설계를 형성하며, 이들의 매개변수는 조합 항등식과 이러한 코드어의 수를 사용하여 계산된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 특정 종류의 선형 코드의 이중 이중 코딩에서 고정된 무게를 가진 코드어의 지지부가 2-설계를 형성할 수 있는가?
• RQ2 코드 $ \overline{{\mathcal{C}_1^\perp}}^\perp $ 와 $ \overline{{\mathcal{C}_2^\perp}}^\perp $ 의 정확한 무게 분포는 무엇인가?
• RQ3 결과적인 2-설계의 매개변수는 필드 크기 $ q = p^m $, 지수 $ l $, 그리고 $ m $ 의 기수성에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ4 어떤 조건에서 특정 무게를 가진 코드어의 지지부가 일정한 반복 수를 가지는 2-설계를 형성하는가?
• RQ5 각 2-설계의 블록 수와 반복 수는 정확히 얼마인가?

주요 결과

• 코드 $ \overline{{\mathcal{C}_1^\perp}}^\perp $ 는 정확히 8개의 서로 다른 비영 무게를 가진다: $ w_1 = p^m - (p^{m-1} - p^{\frac{m}{2}-1}(p-1)) $, $ w_2 = p^m - (p^{m-1} - p^{\frac{m}{2}}(p-1)) $, $ w_3 = p^m - (p^{m-1} - p^{\frac{m}{2}}) $, $ w_4 = p^m - (p^{m-1} + p^{\frac{m}{2}-1}) $, $ w_5 = p^m - (p^{m-1} + p^{\frac{m}{2}}) $, 그리고 그들의 보완.
• 무게 $ w_4 $ 를 가진 코드어의 수는 $ A_{w_4} = n_{-1,0,0} + (p-1)n_{-1,0,1} $ 이며, 다른 무게들에 대해서도 유사한 표현식이 유도되며, 계수는 지수합 계수에 따라 달라진다.
• 코드 $ \overline{{\mathcal{C}_2^\perp}}^\perp $ 에서 $ m $ 이 홀수일 경우, 무게 분포는 세 가지 서로 다른 비영 무게를 포함한다: $ p^{m-1} $, $ p^{m-1} \pm p^{\frac{m-1}{2}} $, 각각 $ \frac{p^m(p-1)(p^m-1)}{2} $ 번 나타난다.
• 만약 $ m $ 이 짝수이고 $ a^{(q-1)/(p+1)} \neq (-1)^{m/2} $ 이면, 무게는 $ p^{m-1} + (-1)^{m/2}p^{\frac{m}{2}-1}(p-1) $ 과 $ p^{m-1} - (-1)^{m/2}p^{\frac{m}{2}-1} $ 이며, 각각 $ \frac{p^{m+1}(p^m-1)}{p+1} $ 및 $ \frac{p^{m+1}(p-1)(p^m-1)}{p+1} $ 번 나타난다.
• 만약 $ m $ 이 짝수이고 $ a^{(q-1)/(p+1)} = (-1)^{m/2} $ 이면, 무게는 $ p^{m-1} - (-1)^{m/2}p^{\frac{m}{2}}(p-1) $, $ p^{m-1} + (-1)^{m/2}p^{\frac{m}{2}} $, 그리고 $ p^{m-1} $ 이며, 각각 $ \frac{p^{m-2}(p^m-1)}{p+1} $, $ \frac{p^{m-2}(p^m-1)(p-1)}{p+1} $, 그리고 $ (p^m-1)p^{m-1}(p-1) $ 번 나타난다.
• 두 코드에서 각 고정된 무게를 가진 코드어의 지지부는 매개변수가 명시적으로 계산된 2-설계를 형성하며, 반복 수 $ \lambda $ 는 이러한 코드어의 수와 조합 항등식을 통해 유도된다.