[논문 리뷰] Infinite horizon backward stochastic Volterra integral equations and discounted control problems

Yushi Hamaguchi|arXiv (Cornell University)|2021. 05. 06.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 49인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 가중 L² 공간에서 유한시간 범위를 초월하는 역행 확률적 볼테라 적분 방정식(BSVIEs)에 대한 적응형 M-해의 존재성과 유일성을 확립하며, 유한시간 범위에 대한 쌍대성 및 상수 변화 공식 결과를 일반화한다. 이를 통해 할인 비용 함수를 가진 무한시간 범위의 확률적 최적화 문제에 적용하여, 무한시간 범위 BSVIE로 표현된 쌍대 방정식을 포함한 폰트리아긴의 최대 원리에 기반한 필요 및 충분 최적성 조건을 도출한다.

ABSTRACT

Infinite horizon backward stochastic Volterra integral equations (BSVIEs for short) are investigated. We prove the existence and uniqueness of the adapted M-solution in a weighted $L^2$-space. Furthermore, we extend some important known results for finite horizon BSVIEs to the infinite horizon setting. We provide a variation of constant formula for a class of infinite horizon linear BSVIEs and prove a duality principle between a linear (forward) stochastic Volterra integral equation (SVIE for short) and an infinite horizon linear BSVIE in a weighted $L^2$-space. As an application, we investigate infinite horizon stochastic control problems for SVIEs with discounted cost functional. We establish both necessary and sufficient conditions for optimality by means of Pontryagin's maximum principle, where the adjoint equation is described as an infinite horizon BSVIE. These results are applied to discounted control problems for fractional stochastic differential equations and stochastic integro-differential equations.

연구 동기 및 목표

• 역행 확률적 볼테라 적분 방정식(BSVIEs) 이론을 유한시간에서 무한시간으로 확장한다.
• 가중 L² 공간에서 유한시간을 초월하는 유형-I 및 유형-II BSVIE에 대해 적응형 M-해의 존재성과 유일성을 증명한다.
• 비유계 계수를 가진 무한시간 범위 설정으로 이론적 쌍대성 원리와 상수 변화 공식을 일반화한다.
• 무한시간 범위 BSVIE 프레임워크를 할인된 비용 함수를 가진 확률적 최적화 문제에 적용한다.
• 앞선 SVIE의 무한시간 범위 확률적 최적화 문제에 대해 폰트리아긴의 최대 원리에 기반한 필요 및 충분 최적성 조건을 도출한다. 이때 쌍대 방정식은 무한시간 범위 BSVIE로 표현된다.

제안 방법

• 할인율 λ를 포함한 자유항과 Z(s,t)에 의존하는 드라이버를 가진 유형-II 형태의 할인된 무한시간 범위 BSVIE를 도입한다.
• 0 ≤ s ≤ t ≤ ∞에서 Z(t,s)에 대한 마틴갈 representation 정리에 기반해 적응형 M-해의 개념을 정의한다.
• 가중치 η와 할인율 λ 간의 상호작용 분석을 통해 가중 L² 공간에서 적응형 M-해의 존재성과 유일성을 증명한다.
• 가중 L² 공간에서 선형 앞선 SVIE와 무한시간 범위 선형 유형-II BSVIE 간의 쌍대 원리를 확립한다.
• 비유계 계수로 일반화된 유한시간 설정에서의 결과를 확장해, 무한시간 범위 선형 유형-I BSVIE에 대해 상수 변화 공식을 유도한다.
• 쌍대 방정식을 무한시간 범위 BSVIE로 표현함으로써 무한시간 범위 확률적 최적화 문제에 프레임워크를 적용하고, 폰트리아긴 원리를 통해 최적성 조건을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 할인율 λ와 가중치 η가 어떤 조건을 만족할 경우, 가중 L² 공간에서 무한시간 범위 BSVIE가 고유한 적응형 M-해를 갖는가?
• RQ2 비유계 계수를 가진 설정에서, 앞선 SVIE와 무한시간 범위 BSVIE 간의 쌍대 원리는 어떻게 유한시간에서 무한시간으로 일반화될 수 있는가?
• RQ3 무한시간 범위 선형 유형-I BSVIE에 대해 상수 변화 공식은 무엇이며, 이는 어떻게 유한시간 설정의 결과를 일반화하는가?
• RQ4 상태 과정이 앞선 SVIE인 무한시간 범위 확률적 최적화 문제에 대해, 할인된 비용 함수를 가진 폰트리아긴의 최대 원리는 어떻게 적용될 수 있는가?
• RQ5 특이 계수를 가진 SVIE의 무한시간 범위 확률적 최적화에 대해 필요한 최적성 조건과 충분 최적성 조건은 무엇이며, 이는 어떻게 BSVIE 쌍대 방정식을 통해 표현되는가?

주요 결과

• 논문은 가중 L² 공간에서 무한시간 범위 BSVIE에 대해 적응형 M-해의 존재성과 유일성을 증명하며, 해의 잘 정의됨 조건이 할인율 λ와 해 공간의 가중치 η 간의 상호작용에 따라 결정됨을 보여준다.
• 비유계 계수로 일반화된 결과를 얻기 위해, 무한시간 범위 선형 유형-I BSVIE에 대해 상수 변화 공식을 유도하였으며, 이는 후와 옥센달(2010) 및 왕, 용, 장(2016)의 결과를 확장한다.
• 가중 L² 공간에서 선형 앞선 SVIE와 무한시간 범위 선형 유형-II BSVIE 간의 쌍대 원리를 증명하였으며, 영의(2006) 결과를 무한시간 설정으로 일반화한다.
• 할인된 비용 함수를 가진 무한시간 범위 확률적 최적화 문제에 대해, 논문은 폰트리아긴의 최대 원리를 통해 필요 및 충분 최적성 조건을 도출하였으며, 이때 쌍대 방정식은 무한시간 범위 BSVIE로 표현된다.
• 최적성 조건은 쌍대 과정과 제어를 포함하는 변분 부등식으로 표현되며, 쌍대 과정은 이토-볼테라 유형의 무한시간 예측된 BSVIE를 만족한다.
• 프레임워크는 분수형 SDE와 확률적 적분미분 방정식에 적용되었으며, 무한시간 범위 BSVIE 접근법이 기억 효과와 특이 계수를 가진 모델을 다룰 수 있음을 보여준다.