[논문 리뷰] Infinite J-matrices and a matrix moment problem

M. Krein|arXiv (Cornell University)|2016. 06. 20.

Matrix Theory and Algorithms참고 문헌 1인용 수 98

한 줄 요약

이 논문은 p>1인 정규 J_p-매트릭스에 대한 독자적 이론을 개발하고 이를 행렬 모멘트 문제와 연결하며, 해의 존재성, 유일성 및 행렬 함수에 의한 매개화를 다룬다. Krein이 정의 인덱스가 있는 Hermitian 연산자에 대해 이룬 초기 연구를 확장하고, 관련 행렬 다항식과 레졸벤트 관계의 구성도 제공한다.

ABSTRACT

This is a translation of a paper that appeared (in Russian) in Dokl. Akad. Nauk SSSR 69, nr 2 (1949), 125-128.

연구 동기 및 목표

• 벡터 값 경계값 문제의 대수적 모델로서 무한 정규 J_p-매트릭스를 연구하도록 동기를 부여한다.
• 정규 J_p-매트릭스를 행렬 모멘트 문제와 연결하고 기초 특성을 확립한다.
• 주어진 J_p-매트릭스에 연결된 행렬 다항식의 수열을 구성하고 분석한다.
• 행렬 모멘트 문제와 해들의 해결 가능성 및 정규화 조건을 탐구한다.

제안 방법

• 정규 J_p-매트릭스를 무한한 에르미트 행렬로 정의하고, 비대각 블록 A_{i,i+1}가 비특이인 삼대각 블록 구조를 가진 것으로 정의한다.
• D_k(λ)의 3항 재귀 관계를 통해 D_k(λ) 수열을 도입한다. 단 D_{-1}=0, D_0(λ)는 임의의 비특이이다.
• H(z) = lim_{n→∞} (sum_{k=0}^n D_k^*(z̄) D_k(z))^{-1}의 존재를 보이고, 그 랭크 r(z)를 연관된 Hermitian 연산자 A의 부족 지수 ν_+ 및 ν_-와 연결한다.
• 모든 차수 n의 다항식 P(λ)이 P(λ)=sum_{k=0}^n U_k D_k(λ)로 표현될 수 있음을 보이고, 쌍선형과 유사한 성질을 갖는 형태 {P,Q}를 정의한다.
• S_n = ∫ λ^n dT(λ)을 정의하고, 형태 {S_n}의 양수성 및 관련 불변량을 통한 해의 해석 가능성을 확립한다.
• 고유한 정규화 해 T(λ)에 대한 조건을 제시하고, ν_+ = ν_- = p일 때 모든 정규화 해의 집합을 특성화한다. 여기에는 레졸벤트 표현과 복소해 행렬 함수의 매개화가 포함된다.
• A의 자가수정 확장을 단위 행렬 U를 이용해 연결하고, 이들의 스펙트럼을 G_1, G_2, 및 V(z)가 포함된 det[G_1(z)(I+U)+iG_2(z)(I−U)]=0의 근들과 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정규 J_p-매트릭스와 관련된 연산자의 부족 지수의 정확한 관계가 행렬 모멘트 문제의 해결 가능성과 어떻게 관련되는가?
• RQ2 행렬 다항식 D_k(λ)을 어떻게 사용하여 행렬 모멘트 문제의 해를 구성하고 분석할 수 있는가?
• RQ3 ν_+ = ν_- = p일 때 행렬 모멘트 문제가 유일하게 해결 가능한 조건은 무엇이며, 정규화 해를 어떻게 매개화할 수 있는가?
• RQ4 상반평면에서의 holomorphic한 p×p 행렬 함수가 행렬 모멘트 문제의 모든 정규화 해를 어떻게 매개화하는가?
• RQ5 자가수정 확장과 det[G_1(z)(I+U)+iG_2(z)(I−U)]=0의 근 사이의 관계를 통해 스펙트럼을 어떻게 설명하는가?

주요 결과

• H(z)의 순위 r(z)가 상부 및 하부 반평면에서 일정하므로 부족 지수 ν_+ 및 ν_-를 정의하고 이는 연산자의 확장을 특징짓는다.
• 부족 지수 중 하나가 0인 경우에만 모멘트 문제는 고유하게 정규화된 해 T(λ)를 가진다.
• ν_+ = ν_- = p일 때 역수 H^{-1}(z)가 존재하고 경계 조건은: T(ξ+0)−T(ξ−0) ≤ H^{-1}(ξ)이다.
• ν_+ = ν_- = p인 경우 각 정규화 해 T(λ)는 상반평면에서 ∥V(z)∥ ≤ 1인 holomorphic한 p×p 행렬 함수 V(z)와의 일대일 대응으로 표현되며, 특정 행렬-함수 식별을 통해 매개화된다.
• 자가수의 확장은 단위 행렬 U를 이용한(det[G_1(z)(I+U)+iG_2(z)(I−U)]=0) 근의 해에 대응하는 스펙트럼과 연관된다.
• 구성은 E_k 및 D_k로부터 구축된 F_1, F_2, G_1, G_2와 같은 전체 행렬 함수들을 통해 T(λ)에 대한 레졸벤트 유사 표현을 제공한다.