[논문 리뷰] Infinite many Blow-up solutions for a Schrödinger quasilinear elliptic problem with a non-square diffusion term

Carlos Alberto Santos, Jiazheng Zhou|arXiv (Cornell University)|2016. 03. 03.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 7인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $\mathbb{R}^N$ 에서 비제곱형 확산 항을 가진 쿼드라라식 슈뢰딩거 유형 타원형 방정식에 대해 무한히 많은 폭발 해를 존재함을 입증한다. 이는 이중 변분 접근법과 잠재력의 진동 분석을 통해 이루어지며, 주요 결과는 계수 $a(x)$ 가 적절한 감쇠 및 진동 조건을 만족하고 $g$ 가 감소함수일 경우, 무한히 많은 양의 해가 무한대에서 폭발함을 보여준다.

ABSTRACT

In this paper, we consider existence of positive solutions for the Schrödinger quasilinear elliptic problem $$ \left\{ \begin{array}{l} Δ_pu+Δ_p(|u|^{2γ})|u|^{2γ-2}u = a(x)g(u)~ \mbox{on}~ \mathbb{R}^N,\\ u>0\ \mbox{in}~\mathbb{R}^N,\ u(x)\stackrel{\left|x ight| ightarrow \infty}{\longrightarrow} \infty, \end{array} ight. $$ where $a(x), ~x\in \mathbb{R}^N$ and $g(s)~s>0$ are a nonnegative and continuous functions with $g$ being nonincreasing as well, $γ>{1}/{2}$, and $N \geq 1$. By a dual approach we establish sufficient conditions for existence and multiplicity of solutions for this problem.

연구 동기 및 목표

• 비제곱형 확산 항을 가진 쿼드라라식 슈뢰딩거 방정식의 양의 해의 존재성과 다중성을 확립하는 것.
• 이러한 쿼드라라식 문제에 대해 폭발 해에 관한 결과가 부족한 문제를 다루는 것.
• 이전의 반선형 및 경계 대칭 케이스의 존재 결과를 일반적인 감소 비선형성 $g$ 를 가진 비경계 대칭 쿼드라라식 설정으로 확장하는 것.
• 잠재력 $a(x)$ 의 진동, 정의된 바에 따라 $a_{\text{osc}}(r) = \overline{a}(r) - \underline{a}(r)$ 를 통해 해의 무한 다중성에 기여하는 역할을 규명하는 것.
• 비볼록, 비표준 확산 구조 $\Delta_p(|u|^{2\gamma})|u|^{2\gamma-2}u$ 를 다룰 수 있는 이중 변분 프레임워크를 개발하는 것.

제안 방법

• 원래 문제를 새로운 미지 함수 $w = f(u)$ 를 포함하는 등가 이중 공식으로 변환함으로써 이중 변분 접근법을 적용한다. 여기서 $f$ 는 적절한 미분동형사상이다.
• 문제의 경계 대칭성과 잠재력 $a(x)$ 의 경계 대칭 가정을 이용해, 변환된 상미분방정식의 경계 대칭 해 $w_{\alpha}(r)$ 를 정의한다.
• 반경 방향에서의 편차와 $a(x)$ 가 구 위에서의 상한과 하한의 차이를 제어하기 위해 진동 함수 $a_{\text{osc}}(r) = \overline{a}(r) - \underline{a}(r)$ 를 도입한다.
• 확장 구 $B_n(0)$ 에서의 하부 및 상부 해 기법을 사용하여 근사 해 $w_n$ 의 수열을 구성하고, 이들이 $C^1(\mathbb{R}^N)$ 에서의 전역 해 $w$ 로 수렴하도록 한다.
• Keller-Osserman 유형 조건 하에서 $\overline{a}(t)$ 와 함수 $\mathcal{G}(t) = \int_1^t \frac{ds}{g(s)^{1/(p-1)}}$ 의 역함수를 포함하는 적분 추정을 통해 $w_{\alpha}(r)$ 에 대한 점별 추정을 수립한다.
• 모든 $\alpha > \mathcal{A}$ 와 $\epsilon > 0$ 에 대해, $|x| \to \infty$ 일 때 $w(x) \to \infty$ 가 되는 해 $w$ 가 존재함을 보이기 위해, 적분 $\overline{H} = \int_0^\infty \mathcal{H}(s) \, ds$ 를 포함하는 모순 추론을 통해 해 분지가 무한대까지 연장됨을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비제곱형 확산 항을 가진 쿼드라라식 슈뢰딩거 방정식이 무한대에서 폭발하는 양의 해를 갖기 위한 $a(x)$ 와 $g(u)$ 의 조건은 무엇인가?
• RQ2 반경 $r$ 에서 측정된 잠재력 $a(x)$ 의 진동, 즉 $a_{\text{osc}}(r)$ 는 폭발 해의 존재성과 다중성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 비볼록, 비표준 확산 항 $\Delta_p(|u|^{2\gamma})|u|^{2\gamma-2}u$ 를 다룰 수 있도록 이중 변분 방법을 어떻게 적응시킬 수 있는가? 여기서 $\gamma > 1/2$ 이다.
• RQ4 잠재력 $a(x)$ 가 경계 대칭이 아닐 경우에도, 무산가수의 서로 다른 양의 해를 구성하는 것이 가능한가?
• RQ5 Keller-Osserman 유형 적분 조건 $\int_1^\infty \frac{dt}{g(t)^{1/(p-1)}} = \infty$ 는 폭발 해의 존재를 보장하기 위해 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 잠재력 $a(x)$ 가 $\int_0^\infty r a_{\text{osc}}(r) \exp(\underline{A}(r)) \, dr < \infty$ 를 만족할 경우, 무한히 많은 양의 해가 무한대에서 폭발함을 보여준다. 여기서 $\underline{A}(r) = \int_0^r s \underline{a}(s) \, ds$ 이다.
• 모든 충분히 큰 $r$ 에 대해, 임의의 $\alpha > \mathcal{A}$ 에 대해 $w_{\alpha}(r) \leq \mathcal{G}^{-1}\left(r \left(\int_0^r \overline{a}(t) \, dt\right)^{1/p - 1}\right)$ 를 만족하는 해 $w_{\alpha}$ 가 존재한다.
• 조건 $\int_0^\infty \mathcal{H}(s) \, ds \leq \overline{H} < \infty$ 하에서, $\alpha > \mathcal{A}$ 인 해 분지 $w_{\alpha}$ 가 무한대까지 연장될 수 있으며, 이는 $|x| \to \infty$ 일 때 $w(x) \to \infty$ 가 되는 해 $w$ 의 존재를 의미한다.
• 초기 매개변수 $\alpha > \mathcal{A}$ 를 변화시킴으로써 무산가수의 서로 다른 해를 구성할 수 있으며, 이는 폭발 해의 무한 다중성을 이끌어낸다.
• 해의 존재성에 대한 증명은 모순 추론에 기반한다. 만약 $S(\beta_0) < \infty$ 라면, $\beta_0 \leq \alpha + \overline{H}$ 가 되며, 이는 $\beta_0 > \alpha + \overline{H}$ 와 모순된다. 따라서 $S(\beta_0) = \infty$ 가 되어야 한다.
• 비볼록, 비제곱형 확산 항을 다루는 데 성공적으로 적용된 방법은 문제를 이중 설정으로 변환함으로써 비교 원리와 적분 추정이 적용 가능하게 한다.