[논문 리뷰] Infinite products with strongly $B$-multiplicative exponents

Jean‐Paul Allouche, Jonathan Sondow|arXiv (Cornell University)|2007. 09. 26.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 12인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 Woods-Robbins의 무한곱 항등식 $ P = 1/\sqrt{2} $를 임의의 정수 기수 $ B > 1 $로 일반화한다. 여기서는 기수 $ B $ 전개에서의 자릿수 개수를 이용해 강한 $ B $-multiplicative 지수를 유도한다. 짝수 인덱스와 홀수 인덱스로 나누는 새로운 대수적 기법을 도입하여, $ (-1)^{N_{k,B}(n)} $, $ \sin $, $ \cos $ 함수의 자릿수 합을 포함한 무한곱을 평가하고, $ \prod_{n\geq 0} \left( \frac{Bn+k}{Bn+k+1} \right)^{(-1)^{N_{k,B}(n)}} = \frac{1}{\sqrt{B}} $와 같은 닫힌 형태를 도출한다.

ABSTRACT

Let $N_{1,B}(n)$ denote the number of ones in the $B$-ary expansion of an integer $n$. Woods introduced the infinite product $P :=\prod_{n \geq 0} (\frac{2n+1}{2n+2})^{(-1)^{N_{1,2}(n)}}$ and Robbins proved that $P = 1/\sqrt{2}$. Related products were studied by several authors. We show that a trick for proving that $P^2 = 1/2$ (knowing that $P$ converges) can be extended to evaluating new products with (generalized) strongly $B$-multiplicative exponents. A simple example is $$ \prod_{n \geq 0} (\frac{Bn+1}{Bn+2})^{(-1)^{N_{1,B}(n)}} = \frac{1}{\sqrt B}. $$

연구 동기 및 목표

• 기수 $ B > 1 $에 대해 Woods-Robbins 항등식 $ P = 1/\sqrt{2} $를 자릿수 기반 지수를 사용해 일반화한다.
• 강한 $ B $-multiplicative 수열에서 유도된 지수를 가진 무한곱을 평가하는 체계적인 방법을 개발한다.
• 무한곱의 지수를 자릿수 합 또는 삼각함수 기반의 주기적 함수로 확장할 수 있는 인덱스 분할 기법을 고려한 기수 $ B $로의 확장 방법을 제시한다.
• 기수 $ B $에서 자릿수 합의 $ \sin $ 및 $ \cos $ 함수를 포함한 지수 $ (-1)^{N_{k,B}(n)} $를 가진 무한곱에 대해 닫힌 형태 평가를 수립한다.

제안 방법

• 강한 $ B $-multiplicative 수열에 대해 $ u(Bn + k) = u(n)u(k) $라는 함수 방정식을 활용하여, $ P = 1/\sqrt{2} $를 증명하는 데 사용된 인덱스 분할 기법을 기수 $ B $ 전개로 확장한다.
• 기수 $ B $ 전개에서 수 $ n $ 에서 자릿수 $ k $ 의 개수를 세는 함수인 $ N_{k,B}(n) $ 를 사용하여 무한곱의 지수로 활용한다.
• $ (-1)^{N_{k,B}(n)} = \prod_{j} (-1)^{e_j(n)} $ 라는 항등식을 적용하여, 자릿수 $ e_j(n) $ 에 대한 곱셈 함수로 지수를 단순화한다.
• 자릿수 합의 주기적 행동을 가지는 일반화된 지수를 정의하기 위해 $ \sin(\pi k / q) \sin(\pi(2s_B(n) + k)/q) $ 및 $ \cos $ 항목과 같은 삼각함수 항등식을 적용한다.
• 자릿수 합 $ s_B(n) $ 와 그 기수의 기수성(짝수/홀수)의 성질을 활용하여 곱의 수렴성과 닫힌 형태 평가를 유도한다.
• 기존의 감마 함수와 Weierstrass 곱의 결과를 활용한 대수적 변형을 통해 결과를 검증하고 일반화하며, 특히 기수 $ B $ 가 홀수일 경우에 초점을 맞춘다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Woods-Robbins 곱 항등식 $ \prod_{n \geq 0} \left( \frac{2n+1}{2n+2} \right)^{(-1)^{N_{1,2}(n)}} = \frac{1}{\sqrt{2}} $ 는 임의의 정수 기수 $ B > 1 $로 일반화될 수 있는가?
• RQ2 기수 $ B $ 전개에서 자릿수 $ k $ 의 개수를 세는 $ N_{k,B}(n) $ 이 지수로 사용될 경우, 어떤 무한곱 항등식이 도출되는가?
• RQ3 무한곱의 지수로 자릿수 합 또는 삼각함수 기반의 주기적 함수를 사용할 때, $ P = 1/\sqrt{2} $ 를 증명하는 데 쓰인 인덱스 분할 기법은 어떻게 고려된 기수 $ B $ 와 더 복잡한 지수 함수로 확장될 수 있는가?
• RQ4 지수 $ f(n) $ 가 강한 $ B $-multiplicative 함수일 때, 형식 $ \prod_{n \geq 0} \left( \frac{Bn+k}{Bn+k+1} \right)^{f(n)} $ 의 곱이 $ 1/\sqrt{B} $ 또는 $ 1 $ 으로 수렴하는 조건은 무엇인가?
• RQ5 $ \sin $ 및 $ \cos $ 함수의 자릿수 합을 포함한 결과는 새로운 닫힌 형태를 가진 무한곱 항등식을 유도하는 데 사용될 수 있는가?

주요 결과

• 모든 정수 $ B > 1 $ 과 $ k = 1, \dots, B-1 $ 에 대해 $ \prod_{n \geq 0} \left( \frac{Bn+k}{Bn+k+1} \right)^{(-1)^{N_{k,B}(n)}} = \frac{1}{\sqrt{B}} $ 이 성립하며, 이는 Woods-Robbins 항등식을 일반화한다.
• 정수 $ B > 1 $, $ q > 1 $, $ 0 < p < q $ 에 대해 $ \prod_{n \geq 0} \left( \frac{Bn+k}{Bn+k+1} \right)^{\sin(\pi k / q) \sin(\pi(2s_B(n) + k)/q)} = \frac{1}{\sqrt{B}} $ 이며, 코사인 항목에 대한 유사한 항등식은 1을 도출한다.
• 기수 $ B $ 가 홀수일 경우, $ \prod_{n \geq 0} \left( \frac{Bn+k}{Bn+k+1} \right)^{(-1)^n} = \frac{1}{\sqrt{B}} $ 이며, 이 결과는 감마 함수의 Weierstrass 곱을 사용해 검증된다.
• 기수 $ B = 2 $, $ k = 1 $ 인 특수한 경우에서 $ \prod_{n \geq 1} \left( \frac{2n}{2n+1} \right)^{(-1)^{N_{1,2}(n)}} = \frac{1}{\sqrt{2}} $ 는 일반화된 공식의 특수한 경우로 복원된다.
• 기수 $ B = 3 $, $ q = 3 $, $ p = 1 $ 일 때, $ \prod_{n \geq \delta_k} \left( \frac{3n+k}{3n+k+1} \right)^{\eta(N_{k,3}(n))} = \frac{1}{3^{2/3}} $ 이며, 여기서 $ \eta(n) $ 은 모듈로 3 기반의 Thue-Morse 유사 함수이다.
• 이 방법은 기수 $ B $ 가 홀수일 경우 짝수와 홀수 $ k $-곱을 조합하여 $ \pi $ 의 Wallis 유형 곱을 도출하며, 감마 함수 항등식의 대수적 변형을 통해 기존의 알려진 항등식을 복원한다.