[논문 리뷰] Infinite words without palindrome

Jean Berstel, Luc Boasson외 2명|ArXiv.org|2009. 03. 13.

History and Theory of Mathematics인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 4글자 및 2글자 알파벳 위에서 균일하게 반복적인 무한 단어를 구성하며, 이는 반전에 대해 닫혀 있지만 팰린드롬 요소는 유한 개 뿐이지만, 일반적인 직관과는 정반대이다. 즉, 반전에 대해 닫혀 있는 경우 무한한 팰린드롬이 존재해야 한다는 직관을 도전한다. 이 구성은 반복적 호모모르피즘과 반전에 대해 닫힌 단어 수열을 사용하여, 팰린드롬 복잡도를 유한하게 유지하면서도 균일한 반복성과 반전에 대한 닫힘을 유지한다.

ABSTRACT

We show that there exists an uniformly recurrent infinite word whose set of factors is closed under reversal and which has only finitely many palindromic factors.

연구 동기 및 목표

• 균일하게 반복적인 무한 단어의 존재를 보여주며, 그 요소 집합은 반전에 대해 닫혀 있지만 팰린드롬 요소는 유한 개 뿐이다.
• 반전에 대해 닫혀 있는 요소 집합이 무한한 팰린드롬을 암시한다는 일반적인 가정을 도전한다.
• 반복적 호모모르피즘과 반전 기반의 단어 생성을 사용하여 4글자 및 2글자 알파벳 모두에서 명시적인 예를 구성한다.
• 반전에 대해 닫힌 수열에서 유도된 모르픽 단어의 팰린드롬 복잡도를 분석한다.
• 균일한 반복성과 반전에 대한 닫힘이 무한한 팰린드롬 요소를 암시하지는 않는다는 것을 확립한다.

제안 방법

• 4글자 알파벳 위에서 수열 (x_n)을 정의한다. x_0 = 01, x_{n+1} = x_n 23 ilde{x}_n 로 하여, 극한 x를 무한 단어로 정의한다.
• 균일한 반복성을 보이기 위해, x_{p+n}을 x_p의 블록과 {23, 32}에서 온 반전 쌍으로의 귀납적 분해를 통해 모든 요소가 유한 간격으로 반복됨을 보인다.
• 요소의 반전 닫힘을 보이기 위해, w가 x_n의 요소이면 ilde{w}가 x_{n+1}의 요소임을 보인다.
• Pal(x)가 유한함(구체적으로 Pal(x) = A)임을 보이기 위해, a,b ∈ A인 형태의 aa 또는 aba 요소가 존재하지 않음을 보이고, x가 ((01+10)(23+32))^ω에 속함을 보인다.
• 0→101, 1→1001, 2→10001, 3→100001로 정의된 2글자 호모모르피즘 h를 사용하여, y = h(x)를 구성하고, 이는 반전을 유지하며 팰린드롬 요소가 유한함을 보인다.
• z_n (z_0=01, z_{n+1}=z_n 01 ilde{z}_n)에 대해 귀납법을 사용하여 n≥3일 때 z_n에 길이 13 또는 14인 팰린드롬이 존재하지 않음을 보이고, 따라서 Pal(z)의 모든 w에 대해 |w|≤12임을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 균일하게 반복적이며 반전에 대해 닫혀 있지만 팰린드롬 요소가 유한한 무한 단어가 존재할 수 있는가?
• RQ2 요소 집합이 반전에 대해 닫혀 있으면, 균일하게 반복적인 무한 단어에서 팰린드롬 복잡도가 유한한가?
• RQ3 어떤 구성이 균일하게 반복적이며 반전에 대해 닫혀 있고 팰린드롬 복잡도가 유한한 무한 단어를 생성하는가?
• RQ4 호모모르피즘은 어떻게 반전에 대한 닫힘과 팰린드롬의 유한성을 유지하는가?
• RQ5 2글자 모르픽 단어 z에서 팰린드롬 요소의 최대 길이는 얼마인가?

주요 결과

• 0,1,2,3로 이루어진 알파벳 위의 무한 단어 x는 균일하게 반복적이며 요소 집합이 반전에 대해 닫혀 있지만, 팰린드롬 요소는 총 네 개뿐이다: 0, 1, 2, 3.
• h에 의해 유도된 모르픽 이미지 y = h(x)는 균일하게 반복적이며 반전에 대해 닫혀 있으며, Pal(x)가 유한하고 h가 반전의 구조를 유지하므로 Pal(y)도 유한하다.
• z_n (z_{n+1} = z_n 01 ilde{z}_n)의 극한으로 정의된 2글자 단어 z는 길이 13 또는 14인 팰린드롬 요소를 포함하지 않으며, 따라서 모든 팰린드롬 요소의 길이는 12 이하이다.
• z는 g(x)와 동일하며, g(0)=g(2)=0, g(1)=g(3)=1로 정의되며, 이는 팰린드롬의 유한성이 특정 축약 호모모르피즘에 의해 유지됨을 보여준다.
• 논문은 4글자 및 2글자 알파벳 모두에서 명시적인 예를 구성하여, 반전에 대해 닫힘과 균일한 반복성이 무한한 팰린드롬 복잡도를 암시하지는 않는다는 것을 보여준다.
• t_0=0, t_{n+1}=t_n 0 ilde{t}_n로 정의된 접기 단어 t는 반전에 대해 닫혀 있지 않으며, f(0)=01, f(1)=10로 정의된 f에 의해 y = f(t)로 표현되며, 이는 구성 과정이 알려진 접기 수열과 연결됨을 보여준다.