[논문 리뷰] Infinitely many Lagrangian fillings

Roger Casals, Honghao Gao|arXiv (Cornell University)|2020. 01. 05.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 47인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 표준 접촉 3차원 구면에서의 모든 최대 tb 양의 레지언드르 토러스 링크 $(n,m)$가 $(2,m)$, $(3,3)$, $(3,4)$, $(3,5)$를 제외하고, 표준 심플렉틱 4-ball 내에서 무한히 많은 해밀턴 이sovopic이 아닌 정확한 라그랑주 막힘을 갖는다는 것을 증명한다. 저자들은 $
rm{PSL}(2,\mathbb{Z})$와 매핑 클래스 군 $M_{0,4}$의 충실한 표현을 프레임드 층의 모듈리 공간의 좌표 환에 적용하여 무한 순서의 라그랑주 콩코르다스를 구성함으로써, 라그랑주 콩코르다스 모노이드와 무한히 많은 고유 계수의 정확한 라그랑주 표면을 갖는 슈타인 다양체 내에서 지수 성장 부분군을 확립한다.

ABSTRACT

We prove that all maximal-tb Legendrian torus links (n,m) in the standard contact 3-sphere, except for (2,m),(3,3),(3,4) and (3,5), admit infinitely many Lagrangian fillings in the standard symplectic 4-ball. This is proven by constructing infinite order Lagrangian concordances which induce faithful actions of the modular group PSL(2,Z) and the mapping class group M(0,4) into the coordinate rings of algebraic varieties associated to Legendrian links. Our results imply that there exist Lagrangian concordance monoids with subgroups of exponential-growth, and yield Stein surfaces homotopic to a 2-sphere with infinitely many distinct exact Lagrangian surfaces of higher-genus. We also show that there exist infinitely many satellite and hyperbolic knots with Legendrian representatives admitting infinitely many exact Lagrangian fillings.

연구 동기 및 목표

• 어떤 레지언드르 링크도 무한히 많은 정확한 라그랑주 막힘을 갖는지 여부에 대한 열린 문제를 해결하기 위해.
• 최대 tb 양의 레지언드르 토러스 링크에 대해 명시적인 무한 가족의 해밀턴 이sovopic이 아닌 정확한 라그랑주 막힘을 구성하기 위해.
• 지수 성장 부분군을 갖는 라그랑주 콩코르다스 모노이드의 존재를 보여주기 위해.
• 기존의 무한 막힘 예제들로부터 정확한 라그랑주 코브로서드를 구성하여 결과를 서브식 및 히퍼볼릭 코브스로 확장하기 위해.
• 프레임드 층의 모듈리 공간을 통해 클러스터 대수의 구조와 라그랑주 막힘의 수 사이의 연결 고리를 설정하기 위해.

제안 방법

• 프레임드 구조적 층의 모듈리 공간 $\mathcal{M}(\Lambda(n,m))$ 위에서 $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{Z})$와 $M_{0,4}$ 작용의 기하적 실현을 통한 무한 순서의 라그랑주 콩코르다스 구성.
• 라그랑주 막힘을 그들이 유도하는 좌표 환 $\mathbb{C}[\mathcal{M}(\Lambda(n,m))]$ 위의 작용에 의해 구분하기 위해 미세국소 층 이론을 사용.
• 모듈리 공간 $\mathcal{M}(\Lambda(n,m))$의 대수적 구조를 분석하기 위해 클러스터 대수 기법을 적용하며, 이는 그라스만이안 $\mathrm{Gr}(n,n+m)$의 준사영 부분다양체로 실현된다.
• $\Lambda(3,6)$와 $\Lambda(4,4)$에 대해 좌표 환 $\mathbb{C}[\mathcal{M}(\Lambda(n,m))]$ 위의 단형 모노드로미 표현이 충실하다는 것을 증명함으로써, 무한히 많은 서로 다른 막힘의 존재를 유도.
• $\Lambda(3,6)$와 $\Lambda(4,4)$에서 특정 서브식 및 히퍼볼릭 코브스로의 정확한 라그랑주 코브로서드를 수립하여 무한 막힘 성질을 전달.
• velop된 푸카야 카테고리와 체카노프-엘리아샤버그 DGA 증강을 사용하여 막힘들이 카테고리 내에서 비이sovopic 대상임을 구분.

Figure 1. The Legendrian torus links $\Lambda(3,6)$ (left) and $\Lambda(4,4)$ (right).

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준 접촉 3차원 구면 내의 어떤 레지언드르 링크도 표준 심플렉틱 4-ball 내에서 무한히 많은 해밀턴 이sovopic이 아닌 정확한 라그랑주 막힘을 갖는가?
• RQ2 프레임드 층의 모듈리 공간 위의 모노드로미 작용이 무한히 많은 서로 다른 정확한 라그랑주 막힘들을 감지할 수 있는가?
• RQ3 무한 막힘을 갖는 레지언드르 링크에 대한 라그랑주 콩코르다스 모노이드의 대수적 구조는 무엇이며, 지수 성장 부분군을 포함하는가?
• RQ4 무한 막힘 성질은 토러스 링크에서 더 일반적인 코브스 유형, 예를 들어 서브식 및 히퍼볼릭 코브스로 확장될 수 있는가?
• RQ5 유한형 클러스터 대수의 클러스터 시드 수와 특정 레지언드르 링크에 대한 정확한 라그랑주 막힘 수 사이에 정확한 대응 관계가 존재하는가?

주요 결과

• $(2,m)$, $(3,3)$, $(3,4)$, $(3,5)$를 제외한 모든 최대 tb 양의 레지언드르 토러스 링크 $(n,m)$는 표준 심플렉틱 4-ball 내에서 무한히 많은 해밀턴 이sovopic이 아닌 정확한 라그랑주 막힘을 갖는다.
• 이 구성은 무한 순서의 라그랑주 콩코르다스를 제공하며, 심플렉틱 위상수학에서 이러한 콩코르다스의 첫 번째 알려진 예이다.
• $\Lambda(3,6)$의 라그랑주 콩코르다스 모노이드는 프레임드 층의 모듈리 공간 위에서의 충실한 $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{Z})$ 작용으로 인해 지수 성장 부분군을 포함한다.
• 2차원 구면과 호모토피 동치인 슈타인 4-다양체는 동일한 스무스 이sovopic 클래스 내에서 무한히 많은 상호 해밀턴 이sovopic이 아닌 고유 계수의 정확한 라그랑주 표면을 포함한다.
• 무한히 많은 서브식 및 히퍼볼릭 코브스, 특히 $1<r<p<q$ 및 $18p<s$ 조건을 만족하는 와이어드 토러스 코브스 $T(p,q,r,s)$는 무한히 많은 정확한 라그랑주 막힘을 갖는 레지언드르 표현을 갖는다.
• 50, 883, 25080은 각각 $D_4$, $E_6$, $E_8$ 유형의 유한형 클러스터 대수에서의 클러스터 시드 수이며, 이는 각각 $\Lambda(3,3)$, $\Lambda(3,4)$, $\Lambda(3,5)$에 대한 정확한 라그랑주 막힘의 수와 정확히 일치한다.

Figure 2. The diagrams on each of the left hand sides of the equalities are called $A_{2}$ -spiders in [ 47 , Section 4] . The diagrams on the right hand sides follow the notational convention of [ 31 ] , white vertices are sources and black vertices are sinks. The white tripod represents $\det(v_{i