[논문 리뷰] Infinitely many monotone Lagrangian tori in del Pezzo surfaces

Renato Vianna|arXiv (Cornell University)|2016. 02. 10.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 23인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 거의 토릭 포장(ATFs)과 삼각형 모양의 거의 토릭 기저도형(ATBDs)를 사용하여, $k = 0,3,4,5,6,7,8$인 델 페조 표면 $\mathbb{C}P^2\#k\overline{\mathbb{C}P}^2$에서 무한히 많은 단조 라그랑주 토리의 동형류를 구성한다. 마르코프 유형의 방정식을 통해 이러한 토리의 존재를 증명하고, $\mathbb{C}P^2\#\overline{\mathbb{C}P}^2$로 결과를 확장하며, $k=2$에 대해서는 동일한 결과가 성립할 것이라 추측한다. 또한 이러한 토리들이 심플렉틱화 이후에 심플렉틱 항등기호 토리의 여집합에서 무한히 많은 정확한 라그랑주 토리를 유도함을 보여준다.

ABSTRACT

We construct almost toric fibrations (ATFs) on all del Pezzo surfaces, endowed with a monotone symplectic form. Except for $\mathbb{C}P^2 \# 1 \overline{\mathbb{C}P^2}$ and $\mathbb{C}P^2 \# 2 \overline{\mathbb{C}P^2}$ , we are able to get almost toric base diagrams (ATBDs) of triangular shape and prove the existence of infinitely many symplectomorphism (in particular Hamiltonian isotopy) classes of monotone Lagrangian tori in $\mathbb{C}P^2 \# k \overline{\mathbb{C}P^2}$, for k=0,3,4,5,6,7,8. We name these tori $Θ^{n_1,n_2,n_3}_{p,q,r}$. Using the work of Karpov-Nogin, we are able to classify all ATBDs of triangular shape. We are able to prove that $\mathbb{C}P^2 \# 1 \overline{\mathbb{C}P^2}$ also have infinitely many monotone Lagrangian tori up to symplectomorphism and we conjecture that the same holds for $\mathbb{C}P^2 \# 2 \overline{\mathbb{C}P^2}$ . Finally, the Lagrangian tori $Θ^{n_1,n_2,n_3}_{p,q,r}$ inside a del Pezzo surface $X$ can be seen as monotone fibres of ATFs, such that, over its edge lies a fixed anticanonical symplectic torus $Σ$. We argue that $Θ^{n_1,n_2,n_3}_{p,q,r}$ give rise to infinitely many exact Lagrangian tori in $X \setminus Σ$, even after attaching the positive end of a symplectization to the boundary of $X \setminus Σ$.

연구 동기 및 목표

• 단조 델 페조 표면에서 무한히 많은 단조 라그랑주 토리의 심플렉틱 동형류를 구성하는 것.
• 노드 무역과 슬라이드 방법을 $\ mathbb{C}P^2$에서 모든 $\ mathbb{C}P^2\#k\overline{\mathbb{C}P}^2$로 확장하여 $k \neq 1,2$인 경우에 적용하는 것.
• 카르포프-노긴의 연구를 활용하여 삼각형 모양의 ATBD를 분류하고, $k=0,3,4,5,6,7,8$에 대해 그 존재성을 증명하는 것.
• 구성된 토리 $\Theta^{n_1,n_2,n_3}_{p,q,r}$ 가 심플렉틱화의 양극을 첨부한 후 $X\setminus\Sigma$에서 무한히 많은 정확한 라그랑주 토리를 유도함을 보여주는 것.
• $\ mathbb{C}P^2\#2\overline{\mathbb{C}P}^2$ 에서 이러한 토리의 무한한 존재를 추측하고, 이 구성 방식을 $\mathbb{Q}$-고렌스타인 분열과 연관짓는 것.

제안 방법

• 노드 무역과 노드 슬라이드를 이용하여 모든 단조 델 페조 표면에 거의 토릭 포장(ATFs)을 구성하는 것.
• 마르코프 유형 I 및 II 방정식을 통해 삼각형 모양의 거의 토릭 기저도형(ATBDs)를 사용하여 단조 라그랑주 토리를 매개변수화하는 것.
• 가짜 힐버트 공간 원판 수를 기반으로 한 경계 마스로프-2 볼록껍질 $\mho_L$ 불변량을 적용하여 토리의 심플렉틱 동형류를 구분하는 것.
• 가중 투영 공간 $\ mathbb{C}P(a^2,b^2,c^2)$ 에서의 교차의 양성과 목이 좁은 영역 기법을 사용하여 $\mho_L$ 를 계산하는 것.
• 하킹-프로코로프 이론을 통해 ATBDs 를 $m$-블록 컬렉션의 세트와 $\mathbb{Q}$-고렌스타인 스무스닝과 연결하는 것.
• 보조 레프셰츠 포장의 도입을 통해 ATBD의 열화를 비이산화된 라그랑주 포장으로 간주하고, 비이산화된 섬유를 해석하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 델 페조 표면 $\ mathbb{C}P^2\#k\overline{\mathbb{C}P}^2$ ($k=0,3,4,5,6,7,8$) 에서 무한히 많은 단조 라그랑주 토리의 심플렉틱 동형류가 존재하는가?
• RQ2 무한히 많은 단조 라그랑주 토리의 구성 방법이 $\ mathbb{C}P^2\#\overline{\mathbb{C}P}^2$ 와 $\ mathbb{C}P^2\#2\overline{\mathbb{C}P}^2$ 로 확장될 수 있는가?
• RQ3 델 페조 표면의 단조 라그랑주 토리들이 $\mathbb{Q}$-고렌스타인 스무스닝을 통해 극한 오비폴드로의 열화를 감지할 수 있는가?
• RQ4 이 논문에서 기술된 ATBDs 는 비이산화된 라그랑주 섬유의 연속체를 지원하는가?
• RQ5 델 페조 표면의 $m$-블록 컬렉션의 세트와 그 ATBD의 노드 유형 사이에 대응 관계가 존재하는가?

주요 결과

• $k=0,3,4,5,6,7,8$ 에 대해 $\ mathbb{C}P^2\#k\overline{\mathbb{C}P}^2$ 에서 무한히 많은 단조 라그랑주 토리의 심플렉틱 동형류가 존재하며, 이는 $\Theta^{n_1,n_2,n_3}_{p,q,r}$ 로 매개변수화된다.
• 이 구성은 삼각형 모양의 ATBD에 기반하며, 이는 카르포프-노긴의 3-블록 컬렉션 연구를 통해 완전히 분류된다.
• $\u005c mathbb{C}P^2\#\overline{\mathbb{C}P}^2$ 에서 이러한 토리가 무한히 존재함을 증명하였고, $k=2$ 에 대해서는 동일한 결과가 성립할 것이라 추측한다.
• 라그랑주 토리 $\Theta^{n_1,n_2,n_3}_{p,q,r}$ 는 고정된 항등기호 심플렉틱 토리 $\Sigma$ 가 변의 위에 놓인 ATF의 단조 섬유이다.
• 이 토리들은 심플렉틱화의 양극을 첨부한 후에도 $X\setminus\Sigma$ 에서 여전히 무한히 많은 정확한 라그랑주 토리를 유도한다.
• 논문은 ATBDs 와 오비폴드 극한의 $\mathbb{Q}$-고렌스타인 스무스닝 사이의 연결고리를 확립하였으며, 이는 라그랑주 토리들이 열화를 감지할 수 있음을 시사한다.