[논문 리뷰] Infinitely many odd zeta values are irrational. By elementary means

Johannes Sprang|arXiv (Cornell University)|2018. 02. 26.

Advanced Mathematical Identities인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 초월함수 이론이나 특수함수를 사용하지 않고, 초월급수의 고차 스트레스와 정수 계수 선형형식을 이용하여 무한히 많은 홀수 리만 제타값이 무리수임을 초등적으로 증명한다. 정수 계수 선형형식으로 구성된 비영인 수열이 0으로 수렴하도록 함으로써, 모든 홀수 제타값이 유리수일 수 없음을 보이며, 이는 스타링의 공식과 소수정리만을 사용하여 무한히 많은 홀수 제타값이 무리수라는 것을 입증한다.

ABSTRACT

In this small note, we provide an elementary proof of the fact that infinitely many odd zeta values are irrational. For the first time, this celebrated theorem been proven by Rivoal and Ball--Rivoal. The original proof uses highly non-elementary methods like the saddle-point method and Nesterenko's linear independence criterion. Recently, Zudilin has re-proven a slightly weaker form of his important result that at least one of the odd zeta values $ζ(5),ζ(7),ζ(9)$ and $ζ(11)$ is irrational, by elementary means. His new main ingredient are certain 'twists by half' of hypergeometric series. Generalizing this to 'higher twists' allows us to give a purely elementary proof of the result of Rivoal and Ball--Rivoal.

연구 동기 및 목표

• 매우 고급 도구인 안장점 방법이나 네스터enko 기준을 사용하지 않고, 무한히 많은 홀수 제타값이 무리수임을 초등적으로 증명하는 것.
• 기존에 ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) 중 적어도 하나가 무리수임을 보이기 위해 쓰인 즈두릴린의 초등적 방법을 일반화하기 위해 '초월급수의 고차 스트레스'를 도입하는 것.
• 허리츠 제타 함수의 성질과 lcm 성장률을 이용하여, 홀수 제타값에 대한 정수 계수 선형형식을 구성하고, 이들이 0으로 수렴하도록 하는 것.
• 비어 있지 않은 유한한 홀수 제타값 집합을, 변형된 초월급수에서 유도된 계수 행렬의 선형대수를 통해 제거하는 것.
• 모든 m ≥ 0에 대해, ζ(2m+1), ζ(2m+3), ..., ζ(2Nₘ+1) 중 적어도 하나가 무리수임을 보이며, 이때 Nₘ > m 임을 보장하는 것.

제안 방법

• 일부 초월급수에 대해 정수 D > 1에 대한 '고차 스트레스'를 도입하여, 허리츠 제타값 ζ(i, j/D)에 대한 선형형식을 생성하는 것.
• 항등식 (D^i − 1)ζ(i) = ∑_{j=1}^{D−1} ζ(i, j/D)를 사용하여 허리츠 값과 고전적 제타값을 연결하고, 원하지 않는 항을 제거하는 것.
• 변형된 초월급수 적분의 선형조합 r̂ₙ^(D,d)를 구성하여, dₙ^s로 스케일링한 후 정수 계수를 가진 홀수 제타값에 대한 유리수 선형형식을 얻는 것.
• 스타링의 공식과 √[n]{lcm(1,...,n)} → e의 점근적 성질을 이용하여, n → ∞일 때 dₙ^s · r̂ₙ^(D,d) → 0임을 증명하는 것.
• 행렬 (2^{i_α·β} − 1)의 가역성을 이용하여, 구성된 형식의 선형조합을 통해 임의의 유한한 홀수 제타값 집합을 제거하는 것.
• 모순을 이용: 만약 어떤 집합의 모든 제타값이 유리수였다면, 그들의 공통 분모는 0으로 수렴하는 비영인 정수 수열을 유도할 것이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초월함수 이론이나 특수함수를 사용하지 않고, 무한히 많은 홀수 제타값이 무리수임을 초등적인 방법으로 증명할 수 있는가?
• RQ2 즈두릴린의 초등적 접근법이 ζ(5), ..., ζ(25)에 대해 적용된 바를, 무한히 많은 홀수 제타값의 무리수임을 증명하기 위해 일반화할 수 있는가?
• RQ3 초월급수의 고차 스트레스는 제어 가능한 유리수 계수를 가진 홀수 제타값에 대한 수렴하는 정수 계수 선형형식을 구성하는 데 도움이 되는가?
• RQ4 변형된 초월급수 적분에서 유도된 계수 행렬에 대한 선형대수를 통해, 임의의 유한한 홀수 제타값 부분집합을 제거할 수 있는가?
• RQ5 lcm(1,...,n)의 초등 점근적 성질과 스타링의 공식만을 사용하여, 스케일된 선형형식의 수렴성을 확립할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 m ≥ 0에 대해, {ζ(3), ζ(5), ..., ζ(2Nₘ+1)}의 부분집합 중 Nₘ − m 개의 원소를 가진 집합은 적어도 하나의 무리수를 포함한다.
• 비영인 정수 계수 선형조합으로 구성된 홀수 제타값의 수열이 0으로 수렴함을 보여, 모든 값이 유리수일 수 없음을 의미한다.
• D = 2^{m+1}로 선택함으로써, 계수 행렬 (2^{i_α·β} − 1)이 정수 위에서 가역적이며, 임의의 m+1개의 홀수 제타값을 제거할 수 있음을 보장한다.
• dₙ^s · r̂ₙ^(D,d)의 수렴성은 √[n]{lcm(1,...,n)} → e의 점근적 성질과 스타링의 공식을 통해 입증된다.
• 핵심 결과는, 네스터enko 기준이나 안장점 방법을 사용하지 않고도, 무한히 많은 홀수 제타값이 무리수임을 초등적으로 증명한 것이다.
• 증명은 원칙적으로 구성적이다: 임의의 유한한 홀수 제타값 집합에 대해, 정수 계수 선형조합이 0으로 수렴하는 것을 찾을 수 있으며, 이는 적어도 하나의 값이 무리수일 경우에만 가능하다.