[논문 리뷰] Infinitely many sign-changing and semi-nodal solutions for a nonlinear Schrodinger system

Zhijie Chen, Chang‐Shou Lin외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 12. 16.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 12인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 유계 또는 비유계 도메인 $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ ($N=2,3$)에서 음의 결합 상수 $\beta < 0$를 가진 비선형 슈뢰딩거 시스템에 대해 무수히 많은 부호 변화가 있는 해와 반노드 해가 존재함을 확립한다. 저자들은 새로운 이중 제약 조건을 가진 변분 문제를 도입하고, 불변 집합을 갖는 임계점 이론을 적용하여, 둘 다 부호가 변화하는 해와 한 성분이 부호가 변화하고 다른 성분이 양수인 반노드 해를 포함한 무수히 많은 반지름 부호 변화 해가 존재함을 증명한다. 주요 기여는 이전 방법의 한계를 극복하는 데 성공한 새로운 변분 프레임워크에 있다.

ABSTRACT

We study the following coupled Schrödinger equations which have appeared as several models from mathematical physics: {displaymath} {cases}-Δu_1 +\la_1 u_1 = μ_1 u_1^3+βu_1 u_2^2, \quad x\in Ω, -Δu_2 +\la_2 u_2 =μ_2 u_2^3+βu_1^2 u_2, \quad x\in \Om, u_1=u_2=0 \,\,\,\hbox{on \,$\partial\Om$}.{cases}{displaymath} Here $\Om$ is a smooth bounded domain in $\R^N (N=2, 3)$ or $\Om=\RN$, $\la_1,\, \la_2$, $μ_1,\,μ_2$ are all positive constants and the coupling constant $\bb&lt;0$. We show that this system has infinitely many sign-changing solutions. We also obtain infinitely many semi-nodal solutions in the following sense: one component changes sign and the other one is positive. The crucial idea of our proof, which has never been used for this system before, is turning to study a new problem with two constraints. Finally, when $\Om$ is a bounded domain, we show that this system has a least energy sign-changing solution, both two components of which have exactly two nodal domains, and we also study the asymptotic behavior of solutions as $β o -\infty$ and phase separation is expected.

연구 동기 및 목표

• 결합 비선형 슈뢰딩거 시스템에서 $\beta < 0$ 인 경우에 대해 무수히 많은 부호 변화 해의 존재를 확립한다.
• 반발력 상호작용 영역($\beta < 0$)에서 부호 변화 해에 대한 존재 결과가 부족한 문제를 새로운 변분 접근법을 통해 해결한다.
• 유계 도메인에서 각 성분이 정확히 두 개의 노드 영역을 갖는 최소 에너지 부호 변화 해의 존재를 증명한다.
• $\beta \to -\infty$일 때 해의 점점 더 큰 점근적 행동을 분석하며, 이는 상분리가 예상됨을 의미한다.

제안 방법

• 해의 노드 구조를 포착하기 위해 이중 제약 조건을 가진 새로운 변분 문제를 도입한다.
• 노드 성질에 대한 제약 조건을 부여한 $H_0^1(\Omega) \times H_0^1(\Omega)$ 위에서 정의된 함수 $E_\beta$의 임계점 이론을 사용한다.
• 불변 집합 이론과 편의상 흐름 $\eta(t, \vec{u})$를 통한 변형 추론을 적용하여 해를 구성한다.
• 유사도 이론과 $\mathbb{Z}_2$-작용을 사용하여 대칭 해를 구성하고 노드 영역을 제어한다.
• 새로운 함수 $J_\beta$를 정의하고 연결 구조를 활용하여 부호 변화 해와 반노드 해에 해당하는 임계점을 찾는다.
• 티에츠의 확장 정리와 대칭적 구성 방법을 활용하여 특정 노드 패턴을 갖는 해의 존재를 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 결합 상수가 $\beta < 0$인 비선형 슈뢰딩거 시스템은 유계 또는 비유계 도메인에서 무수히 많은 부호 변화 해를 갖는가?
• RQ2 이 시스템은 한 성분이 양수이고 다른 성분이 부호가 변화하는 반노드 해를 무수히 많이 지닐 수 있는가?
• RQ3 특히 노드 영역의 수를 고려할 때, 유계 도메인에서 최소 에너지 부호 변화 해의 구조는 어떠한가?
• RQ4 결합 상수가 $\beta \to -\infty$로 갈수록 해는 어떻게 행동하는가? 그리고 상분리는 발생하는가?
• RQ5 새로운 이중 제약 조건 변분 프레임워크는 이전 방법의 한계를 극복하여 노드 해의 존재를 증명하는 데 성공할 수 있는가?

주요 결과

• 도메인이 $\Omega = \mathbb{R}^N$ 이거나 매끄러운 유계 도메인일 경우, 시스템은 무수히 많은 반지름 부호 변화 해를 갖는다.
• 한 성분이 양수이고 다른 성분이 부호가 변화하는 반노드 해가 무수히 많이 존재한다.
• 유계 도메인에서는 각 성분이 정확히 두 개의 노드 영역을 갖는 최소 에너지 부호 변화 해가 존재한다.
• $\beta \to -\infty$일 때, 해는 상분리를 보이며 성분들이 서로 겹치지 않는 영역에 집중된다.
• 새로운 이중 제약 조건 변분 방법은 특정 노드 구조를 갖는 해를 성공적으로 구성하여 이전 방법의 한계를 극복한다.
• 변형 흐름과 유사도 이론을 통한 임계점 구조의 검증을 통해 무수히 많은 해의 존재가 보장된다.