[논문 리뷰] Infinitely many sign-changing solutions for the nonlinear Schrödinger-Poisson system

Zhaoli Liu, Zhi-Qiang Wang외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 08. 28.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 10인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 내림차순 흐름의 불변집합 방법을 사용하여 $\mathbb{R}^3$에서 비선형 슈뢰딩거-포아송 시스템에 무수히 많은 부호가 바뀌는 해가 존재함을 증명한다. 이는 이전 결과를 확장하여 거칠게 다뤄지기 쉬운 경우인 거듭제곱형 비선형성 $f(u) = |u|^{p-2}u$ 에서 $p \in (3,4)$ 를 다루며, 대칭성 가정이나 네하리 다양체에 의존하지 않고 다수의 해 존재성을 증명한다.

ABSTRACT

We investigate the existence of multiple bound state solutions, in particular sign-changing solutions. By using the method of invariant sets of descending flow, we prove that this system has infinitely many sign-changing solutions. In particular, the nonlinear term includes the power-type nonlinearity $f(u)=|u|^{p-2}u$ for the well-studied case $p\in(4,6)$, and the less-studied case $p\in(3,4)$, and for the latter case few existence results are available in the literature.

연구 동기 및 목표

• 비대칭성 가정 없이 $\\mathbb{R}^3$에서 비선형 슈뢰딩거-포아송 시스템에 대해 무수히 많은 부호가 바뀌는 해의 존재성을 확립하는 것.
• 거듭제곱형 비선형성 $f(u) = |u|^{p-2}u$ 에서 이전에 덜 다뤄진 경우인 $p \in (3,4)$ 로 기존의 존재성 결과를 확장하는 것.
• 네하리 다양체에 의존하지 않는 방법을 개발하여 이전의 변분 접근법의 한계를 극복하는 것.
• 잠재력 $V(x)$ 와 비선형성 $f(u)$ 에 일반적인 조건을 두었을 때 다수의 부호가 바뀌는 해의 존재성을 증명하는 것.

제안 방법

• 스chrödinger-포아송 시스템과 관련된 에너지 함수의 임계점을 생성하기 위해 내림차순 흐름의 불변집합 방법을 사용한다.
• 비선형성 $f(u) = |u|^{p-2}u + \lambda |u|^{r-2}u$ 에 매개변수 $\lambda$ 를 도입한 변형을 사용하여 $p \in (3,4)$ 의 임계 경우를 다룬다.
• 비틀림 조건을 만족시키기 위해 에너지 공간에 들어가는 등변 사상 $\varphi_n$ 의 집합을 구성한다.
• 변형 보조정리와 컴팩턴스 추론을 적용하여 $\lambda \to 0^+$ 일 때 극한으로 간다. 이를 통해 원래 문제의 해를 복원한다.
• 에너지 함수의 유계성과 팔라이스-스무드 수열의 약한 수렴성을 보장하기 위해 $V(x)$ 의 강제성과 암브로세티-라빈오티유 타입 조건 ($f_3$) 을 사용한다.
• 에너지 함수의 극한을 취할 때 $L^q(\mathbb{R}^3)$ 에서의 강한 수렴성 ($q \in [2,6)$) 과 관련된 잠재력 $\phi_u$ 에 대한 $\mathcal{D}^{1,2}(\mathbb{R}^3)$ 에서의 강한 수렴성을 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비대칭성 가정 없이 $\mathbb{R}^3$ 에서 비선형 슈뢰딩거-포아송 시스템에 대해 무수히 많은 부호가 바뀌는 해가 존재함을 증명할 수 있는가?
• RQ2 이전 방법이 실패하는 경우인 $p \in (3,4)$ 로 부호가 바뀌는 해의 존재성을 확장할 수 있는가?
• RQ3 네하리 다양체에 의존하지 않고 다수의 부호가 바뀌는 해의 존재성을 확립할 수 있는가?
• RQ4 내림차순 흐름의 불변집합 방법이 일반적인 비선형성을 가진 비국소 슈뢰딩거-포아송 시스템에 어떻게 적용되는가?

주요 결과

• 조건 $V(x)$ 가 강제성이고 $f(u)$ 가 $f_1$--$f_3$ 를 만족하며 $\mu > 4$ 일 때, 시스템은 무수히 많은 부호가 바뀌는 해를 가진다.
• 이 방법은 이전에 덜 다뤄지고 존재 결과가 거의 없던 경우인 $p \in (3,4)$ 를 성공적으로 다루었다.
• 해는 원형 대칭성이나 군 불변성을 가정하지 않아도 얻어지며, 이는 이전 결과에서 요구한 제약 조건을 초월한다.
• 에너지 함수의 임계점이 $\lambda \to 0^+$ 일 때 소볼레프 공간 $E$ 에서 강한 수렴성을 보이며, 원래 문제의 비자명한 해를 도출한다.
• 에너지 함수의 임계 수준 $c_j$ 는 $\lim_{j \to \infty} c_j = \infty$ 를 만족하여, 서로 다른 무수히 많은 해의 존재를 확인한다.
• 네하리 다양체에 의존하지 않아, 부호가 바뀌는 해를 가진 비국소 문제에 대한 새로운 변분 프레임워크를 제공한다.