[논문 리뷰] Infinitely many solutions for p-Laplacian equation involving double critical terms and boundary geometry

Chunhua Wang, Chang-Lin Xiang|arXiv (Cornell University)|2014. 07. 30.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 25인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 유계 도메인에서 $ p $-라플라스 연산자와 경계 기하 조건을 갖는 쌍중 임계 항(Sobolev 및 하디 유형)을 포함하는 비선형 타원형 방정식에 대해 무한히 많은 해의 존재를 증명한다. 근사화된 문제에 대한 분석과 전역 컴팩턴스 기법을 사용하여, $ N > p^2 + p $, $ a(0) > 0 $ 이고, $ 0 \notin \bar{\text{int}}(\bar{\text{dom}}) $ 이면 도메인의 원점에서의 곡률 조건을 만족할 경우, 무한히 많은 해가 존재함을 보인다. 이는 이전의 반선형 결과를 비선형 케이스로 확장한 것이다.

ABSTRACT

Let $1p^{2}+p,a(0)>0$ and $Ω$ satisfies some geometry conditions if $0\in\partialΩ$, say, all the principle curvatures of $\partialΩ$ at $0$ are negative, then the above problem has infinitely many solutions.

연구 동기 및 목표

• 이중 임계 비선형성(Sobolev 및 하디 유형)을 갖는 비선형 $ p $-라플라스 방정식에 대해 반선형 케이스($ p=2 $)에서의 무한히 많은 해 존재를 비선형 케이스($ 1 < p < N $)로 확장한다.
• 특히 $ 0 \notin \text{int}(\bar{\text{dom}}) $ 인 경우 원점에서 주곡률의 부호가 해의 존재성에 미치는 영향을 존재 이론에 통합한다.
• 고에너지 수준에서 팔라스-스멀 조건이 성립하지 않을 경우를 해결하기 위해 편미분 방법을 적용한다.
• 근사된 해에 대해 전역 컴팩턴스 결과를 확립하고 농축 현상 분석을 수행한다.
• 기하학적 및 구조적 조건 하에서 근사된 해가 원래 문제의 해로 강한 수렴을 보임을 증명한다.

제안 방법

• Palais-Smale 조건을 복원하기 위해 지수를 $ p^* - \tilde{\theta} $ 및 $ p^*(s) - \tilde{\theta} $로 수정한 편미분 문제를 도입한다. 여기서 $ \tilde{\theta} > 0 $ 이다.
• 에너지 함수 $ I_\theta $에 대해 대칭 산맥 논법을 적용한다. 이 함수는 짝수이면서 Palais-Smale 조건을 만족한다.
• 붕괴 분석과 스케일링을 통해 $ \rho_{x,\theta}(u) = \theta^{(N-p)/p} u(\theta(\bullet - x)) $ 를 이용하여 농축 프로파일을 식별한다.
• 비교 원리와 부록 B의 감쇠 추정을 사용하여 무한대에서 해의 감쇠 추정을 확립한다.
• 전역 컴팩턴스 분해(정리 D.1)를 적용하여, 편미분 문제의 유계 해 수열이 한 해와 유한 개의 버블로 분해됨을 보인다. 각 버블은 $ \bR^N $ 또는 $ \bR^N_* $ 에서의 해에 대응한다.
• 카파렐리-코른-니렌베르그 및 소볼레프 부등식을 사용하여 에너지 함수의 모든 항이 잘 정의되고 비선형성의 성장률이 제어됨을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비선형 $ p $-라플라스 방정식에 대해 이중 임계 비선형성(Sobolev 및 하디 유형)이 존재할 경우, 비선형 영역에서 무한히 많은 해의 존재를 확립할 수 있는가?
• RQ2 특히 $ 0 \notin \text{int}(\bar{\text{dom}}) $ 이면, 도메인의 기하학, 특히 원점에서의 주곡률의 부호가 무한히 많은 해의 존재에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 어떤 조건에서 근사해 수열 $ u_{\theta,l} $ 이 $ \theta \to 0 $ 일 때 $ W_0^{1,p}(\bar{\text{dom}}) $ 에서 강한 수렴을 보이며, 원래 문제의 해 존재를 보장하는가?
• RQ4 계수 $ a(x) $ 가 $ x=0 $ 근처에서 해의 존재에 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 전역 컴팩턴스 결과를 활용하여 비자명한 버블 형성이 제거되고, 근사해의 극한이 원래 문제의 진짜 해임을 보장할 수 있는가?

주요 결과

• 문제는 $ N > p^2 + p $, $ a(0) > 0 $ 이며, $ 0 \notin \text{int}(\bar{\text{dom}}) $ 이면 도메인의 원점에서의 모든 주곡률가 음수일 때 무한히 많은 해를 갖는다.
• 지수 편미분이 있는 근사 문제에서는 대칭 산맥 논법에 의해 무한히 많은 해가 존재한다. 이는 에너지 함수가 Palais-Smale 조건을 만족하기 때문이다.
• 에너지 수준 $ c_{\theta,l} $ 가 유계이면서 도메인이 곡률 조건을 만족할 경우, 근사해 수열 $ u_{\theta,l} $ 이 $ \theta \to 0 $ 일 때 $ W_0^{1,p}(\bar{\text{dom}}) $ 에서 강한 수렴을 보인다.
• 전역 컴팩턴스 결과(정리 D.1)에 따르면, 편미분 문제의 유계 해 수열은 약한 극한, 유한 개의 버블(도메인 내부 또는 원점에 집중된 해), 그리고 $ W_0^{1,p} $ 에서 영이 되는 나머지 항으로 분해된다.
• 각 버블은 $ \bR^N $ 또는 $ \bR^N_* $ 에서의 극한 문제의 해에 대응하며, 후자의 경우는 $ 0 \notin \text{int}(\bar{\text{dom}}) $ 일 때 발생한다. 이 해들은 $ -\triangle_p u = b_j \nu |u|^{p^*-2}u $ 또는 $ -\triangle_p u = b_j \nu |u|^{p^*-2}u + b_j |u|^{p^*(s)-2}u / |x|^s $ 를 만족한다.
• 비교 원리와 부록 B의 감쇠 추정을 사용하여, 해가 무한대에서 $ |u(x)| \to 0 $ 이며, 감쇠 속도가 $ |x|^{-(N-p)/(p-1)} $ 임을 증명한다.