[논문 리뷰] Infinitely many solutions for semilinear nonlocal elliptic equations under noncompact settings

Woocheol Choi, Jinmyoung Seok|arXiv (Cornell University)|2014. 04. 04.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 25인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 비국소적 분수적 소볼레프 공간에서 컴팩트성의 손실을 철저히 분석하고, 보조적인 비임계 근사 방법을 사용하여 유계 도메인에서 임계 비선형성을 가진 분수적 브레지스-니레베르그 문제에 무수히 많은 비자명한 해가 존재함을 증명한다. 주요 결과는 $ N > 6s $ 이면, $ \\Omega $ 내부에서 $ (- otimes)^s u = |u|^{rac{2N}{N-2s}-2}u + \mu u $, $ \partial\Omega $ 에서 $ u = 0 $ 인 방정식이 $ \mu > 0 $ 일 때 무수히 많은 해를 가진다는 것이다.

ABSTRACT

In this paper, we study a class of semilinear nonlocal elliptic equations posed on settings without compact Sobolev embedding. More precisely, we prove the existence of infinitely many solutions to the fractional Brezis-Nirenberg problems on bounded domain.

연구 동기 및 목표

• 임계 지수 문제에 대한 표준 변분 방법을 방해하는 분수적 소볼레프 공간에서의 컴팩트성 부족 문제를 다루기 위해.
• 클래식한 브레지스-니레베르그 문제에 대해 디비라바와 솔리미니가 얻은 무수히 많은 해에 대한 결과를 국소적이지 않은 분수 라플라스 연산자 설정으로 확장하기 위해.
• 임계 비선형성과 비콤팩트 임베딩으로 인해 팔라이스-스무스 조건이 실패하는 문제를 극복하기 위해.
• 분수적 브레지스-니레베르그 문제에 대해 임계 성장 조건을 만족할 때 $ N > 6s $ 이고 $ \mu > 0 $ 이면, 무수히 많은 비자명한 해의 존재를 확립하기 위해.

제안 방법

• 비임계 문제 (1.2)를 $ \varepsilon > 0 $ 에 대해 비임계 문제 가족 (1.4)로 근사하며, 비선형성은 $ |u|^{\frac{2N}{N-2s}-2-\varepsilon}u + \mu u $ 이다.
• 비임계 문제에 표준 변분 방법을 적용하여 분수적 소볼레프 공간 $ H^s_0(\Omega) $ 내에서 무수히 많은 비자명한 약한 해를 확보한다.
• 비임계 문제의 해에 대한 균일한 추정치를 이용하여, 약한 컴팩트성에 의해 약한 극한을 추출한다.
• 이동 평면 방법과 정칙성 이론을 사용하여 약한 극한이 고전적 해임을 보여준다.
• 포호자에프 항등식과 가중 소볼레프 부등식을 사용하여 확장 문제 설정에서 해의 성장과 감쇠를 제어한다.
• 카파렐리-실베스트레 확장을 사용하여 분수 라플라스 연산자를 $ \mathbb{R}^{N+1}_+ $ 내의 비균일 타입 타원형 문제로 연결함으로써, 가중 소볼레프 및 경계 부등식의 사용을 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 컴팩트 소볼레프 임베딩이 존재하지 않는 조건에서, 임계 비선형성을 가진 분수적 브레지스-니레베르그 문제에 대해 무수히 많은 해의 존재를 확립할 수 있는가?
• RQ2 클래식한 경우에 성공한 비임계 근사 방법이 국소적이지 않은 분수 설정으로 확장 가능한가?
• RQ3 분수적 경우에서 무수히 많은 해의 존재를 위한 최선의 차원 조건 $ N > 6s $ 는 무엇인가?
• RQ4 소볼레프 공간 $ H^s_0(\Omega) \hookrightarrow L^{2N/(N-2s)}(\Omega) $ 에서의 컴팩트성 상실은 변분 구조와 해의 다중성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 포호자에프 항등식과 가중 소볼레프 부등식은 분수 라플라스 연산자에 대한 확장 문제 프레임워크에서 해를 제어하기 위해 적절하게 조정될 수 있는가?

주요 결과

• 분수적 브레지스-니레베르그 문제에 대해 $ N > 6s $ 이고 $ \mu > 0 $ 이면, 무수히 많은 비자명한 해가 존재함을 보여주며, 이는 클래식한 디비라바와 솔리미니 결과를 국소적이지 않은 설정으로 확장한 것이다.
• 모든 작은 $ \varepsilon > 0 $ 에 대해, 비임계 문제 (1.4) 는 비선형성의 비임계 성장과 표준 변분 기법에 의해 $ H^s_0(\Omega) $ 내에서 무수히 많은 비자명한 해를 가진다.
• 비임계 문제의 해에 대한 $ H^s_0(\Omega) $-노름에 대한 균일한 추정치를 확립하여, 약한 컴팩트성에 의해 약한 극한을 추출할 수 있다.
• 비임계 해의 약한 극한은 농도-콤팩트성 방법과 비선형성의 철저한 분석에 기반하여 원래의 임계 문제 (1.2) 에 대한 비자명한 약한 해임을 보여준다.
• 이 증명은 카파렐리-실베스트레 확장과 가중 소볼레프 및 경계 부등식의 사용에 의존하여 확장된 공간에서 해의 거동을 제어한다.
• $ N > 6s $ 조건은, 정칙성 분석에서 사용되는 모스어 반복 기법의 반복 추론에 필요한 적절한 적분 가능성과 컴팩트성 보장을 보장하므로, 최선의 조건임을 보여준다.