[논문 리뷰] Infinitely supported Liouville measures of Schreier graphs

Kate Juschenko, Tianyi Zheng|arXiv (Cornell University)|2016. 08. 11.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 8인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 가산 집합 위의 군 작용에서 리우빌 성질에 대한 동치 조건을 확립하며, 슈레일러 그래프에 대해 무한 지지도를 가진 리우빌 측도를 구성하는 방법을 제시한다. 이는 테오프슨 군 F 가 이중 분수에 대한 무한 지지도를 가진 대칭 측도를 통해 리우빌 작용을 하며, 비가역적 슈레일러 그래프 위에서 일부 람플라이터 군 작용도 리우빌임을 보여주며, 비가역적 리우빌 작용의 새로운 예를 제공한다.

ABSTRACT

We provide equivalent conditions for Liouville property of actions of groups. As an application, we show that there is a Liouville measure for the action of the Thompson group $F$ on dyadic rationals. This result should be compared with a recent result of Kaimanovich, where he shows that the action of the Thompson group F on dyadic rationals is not Liouville for all finitely supported measures. As another application we show that there is a Liouville measure for lamplighter actions. This gives more examples of non-amenable Liouville actions.

연구 동기 및 목표

• 가산 집합 위의 군 작용에서 리우빌 성질에 대한 동치 조건을 제공한다.
• 유한 지지도를 가진 측도에서는 리우빌이 아니지만, 비타당한 무한 지지도를 가진 리우빌 측도의 존재를 입증한다.
• 테오프슨 군 F 가 이중 분수에 대한 대칭적이고 무한 지지도를 가진 리우빌 측도를 갖는다.
• 특히 람플라이터 군 작용에서, 일부 비가역적 슈레일러 그래프에 대해 무한 지지도를 가진 측도에 대해 리우빌임을 보이는 예를 구성한다.
• 특히 카이마노비치의 테오프슨 군 F 결과와의 관련성에서, 이러한 측도가 군과 작용의 가역성에 미치는 영향을 탐구한다.

제안 방법

• 스체일러 그래프 위의 기약적이고 게으른 마코프 체인에서 尾 σ-필드의 자명성과 리우빌 성질 사이의 동치성을 활용한다.
• 전이 확률의 수렴에 기반한 커플링 추론을 적용한다: 만약 측도 μ^(n)·x 와 μ^(n)·y 사이의 총 변동 거리가 0으로 수렴한다면, 작용은 리우빌이다.
• 유한 지지도 측도 (ν_n) 의 볼록 조합을 통한 구조적 방법을 사용한다. 여기서 ν_n 는 X 의 유한 부분집합 K_n 에서 오차 ε_n → 0 으로 작용을 근사한다.
• 지지도가 증가하고 커플링 오차가 감소하는 측도 (ζ_j) 의 수열을 사용하여, G 위에 비타당한 측도 μ 를 구성한다. 이때 작용은 μ-리우빌이 된다.
• 테오프슨 군 F 에 대해 이 방법을 적용하며, 1/2 의 궤도의 유한 부분집합을 슈레일러 그래프의 '털'로 매핑한다. 여기서 생성자는 Z 와 유사하게 작용하여 균일한 측도 근사가 가능해진다.
• 기저 군 A 가 가역적이라는 사실을 활용하여, A 위에 ℓ¹-변동이 작은 측도 ν_n 을 구성한 후, G ⋉ A 의 반직접곱으로 올린다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 테오프슨 군 F 가 이중 분수에 대해 유한 지지도 측도에서는 리우빌이 아니지만, 비타당한 무한 지지도를 가진 리우빌 측도를 가질 수 있는가?
• RQ2 무한 지지도를 가진 리우빌 측도를 지닌 비가역적 슈레일러 그래프가 존재하는가?
• RQ3 전이 측도의 총 변동 거리에 대한 커플링 조건을 통해 군 작용의 리우빌 성질을 특성화할 수 있는가?
• RQ4 어떤 작용에 대해 리우빌 측도가 존재하면, 그 군 또는 그 안정자군의 가역성이 보장되는가?
• RQ5 전이 공간의 유한 부분집합 위에서 군의 작용이 언제 리우빌로 유지되는가?

주요 결과

• 테오프슨 군 F 에 대해 비타당하고 대칭적이며 무한 지지도를 가진 측도 μ 가 존재하며, 이에 따라 1/2 의 궤도(이중 분수) 위의 작용은 μ-리우빌이다.
• Kaimanovich 는 F 가 이중 분수에 대해 유한 지지도 비타당한 측도에서는 리우빌이 아니라는 것을 보였지만, 무한 지지도일 경우 리우빌이 된다.
• 모든 가역 군 G 와 가역 정규부분군 A 에 대해, 반직접곱 G ⋉ A 는 A 위의 작용에 대해 비타당한 리우빌 측도를 갖는다.
• 특정 람플라이터 군의 슈레일러 그래프(예: ℤ/2ℤ ≀ G) 는 비가역적이지만, 일부 무한 지지도 측도 μ 에 대해 리우빌이다.
• 이 방법은 공간의 유한 부분집합 K_n 에서 지지도가 유한인 측도 ν_n 과 감소하는 커플링 오차 ε_n → 0 을 갖는 수열을 통해 이러한 측도를 구성한다.
• 이 구성은 두 인접한 점에서의 n단계 분포 간의 총 변동 거리가 0으로 수렴함을 보장하며, 이는 리우빌 성질을 의미한다.