[논문 리뷰] Infinitesimal Differential Geometry

Paolo Giordano|ArXiv.org|2003. 08. 13.

Algebraic and Geometric Analysis인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 미분기하학에서의 무한소 방법을 형식화하기 위해, nilpotent 무한소($h^2 = 0$)를 포함하는 확장된 실수 체 $^\bullet\mathbb{R}$를 철저하고 표준적 분석적 방법으로 구성한다. 이 틀을 사용하여, 국소 좌표계에 의존하지 않는 직접적인 접근을 가능하게 하는, 유한 차원 $\mathcal{C}^n$ 다성분체의 전체적, 카르테시안 닫힘 임bedding을 정의한다. 이는 무한 차원의 사상 공간들에 대한 다성분체의 무한소 대상들인 접선 벡터와 벡터장들을 무한소 곡선과 변환을 통해 내재적으로 표현함으로써 실현된다.

ABSTRACT

Using standard analysis only, we present an extension ${^\bullet\R}$ of the real field containing nilpotent infinitesimals. On the one hand we want to present a very simple setting to formalize infinitesimal methods in Differential Geometry, Analysis and Physics. On the other hand we want to show that these infinitesimals may be also useful in infinite dimensional Differential Geometry, e.g. to study spaces of mappings. We define a full embedding of the category Man${}^n$ of finite dimensional $\mathcal{C}^n$ manifolds in a cartesian closed category. In it we have a functor ${}^\bullet (-)$ which extends these spaces adding new infinitesimal points and with values in another full cartesian closed embedding of Man${}^n$. We present a first development of Differential Geometry using these infinitesimals.

연구 동기 및 목표

• 무한소 방법을 표준 분석만을 사용하여 형식화함으로써, 비표준 또는 합성적 접근을 피하고자 한다.
• 고전 수학 내에서 nilpotent 무한소($h^2 = 0$)를 포함하는 실수의 엄밀한 확장 $^\bullet\mathbb{R}$를 구성하고자 한다.
• 유한 차원 $\mathcal{C}^n$ 다성분체의 범주에 대해, 무한소 이웃 영역과 접선 구조를 내재적으로 모델링하는 전체적, 카르테시안 닫힘 함자 $(-)^{D_\alpha}$를 정의하고자 한다.
• 벡터장과 접선 대상을 국소 좌표계에 의존하지 않고 무한소 변환으로 간주함으로써, $\mathrm{Man}(M,N)$와 같은 무한 차원 사상 공간들에 이 틀을 직접 적용하고자 한다.

제안 방법

• 무한소 함수 $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$의 동치류로서 $^\bullet\mathbb{R}$를 구성하며, $f \sim g$ iff $f(0) = g(0)$ 및 $f'(0) = g'(0)$를 만족하는 관계를 통해 일阶 행동을 포착한다.
• 집합 $D_\alpha$를 $^\bullet\mathbb{R}^n$의 부분집합으로 정의하며, 모든 $i$에 대해 $x_i^{\alpha_i + 1} = 0$을 만족한다. 이는 고차 무한소 이웃 영역을 모델링한다.
• 다성분체 $M$에 대해 $M^{D_\alpha}$를 $f \in \mathcal{C}^\infty(\mathbb{R}^n, M)$에 대해 $^\bullet f|_{D_\alpha}$ 형태의 일반화된 원소들의 집합으로 정의한다. 이는 접선 다성분체를 일반화한 $\mathcal{C}^\infty$ 대상이 된다.
• 평가 함수를 $\mathbb{R}^n$의 원점 $0$에서 수행함으로써, $\mathbf{Man}^n$에서 $\mathbf{Man}^n$으로 가는 함자 $(-)^{D_\alpha}: \mathbf{Man}^n \to \mathbf{Man}^n$를 정의한다. 이는 곱을 유지하고, 당김과 호환된다.
• 함자 $(-)^{D_\alpha}$가 $\mathbb{R}[x_1,\dots,x_n]/\langle x_i^{\alpha_i+1} \rangle$라는 대수적 구조를 가진 Weil 함자임을 증명함으로써, 고전적 미분기하학과의 호환성을 확보한다.
• 카르테시안 닫힘 구조를 사용하여 $M^{D_\alpha \times D_\beta} \simeq (M^{D_\alpha})^{D_\beta}$와 같은 고차 무한소를 정의함으로써 반복적인 무한소 구성이 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준 분석 내에서 nilpotent 무한소를 엄밀히 구성할 수 있는가? 이는 나머지가 없는 일阶 테일러 전개를 형식화하기 위함이다.
• RQ2 무한소 곡선을 통해 $^\bullet\mathbb{R}$에서 접선 다성분체와 고차 접선 구조를 내재적으로 표현할 수 있는가?
• RQ3 유한 차원 $\mathcal{C}^n$ 다성분체의 범주에 대해, 무한소 대상을 유지하고 확장하는 전체적, 카르테시안 닫힘 임bedding을 구성할 수 있는가?
• RQ4 이 틀을 $\mathrm{Man}(M,N)$와 같은 무한 차원 사상 공간들에 직접 적용할 수 있는가? 이 경우 국소 좌표계나 차트에 의존하지 않는다.
• RQ5 $(-)^{D_\alpha}$ 함자가 Weil 함자인가? 그에 대응하는 대수적 구조는 무엇인가?

주요 결과

• 반환체 $^\bullet\mathbb{R}$는 $f \sim g$ iff $f(0) = g(0)$ 및 $f'(0) = g'(0)$ 조건을 만족하는, 미분 가능 함수의 동치류로서의 몫으로 구성되며, 이는 $h^2 = 0$을 만족하는 무한소 $h$에 대해 nilpotency를 보장한다.
• 모든 $f \in \mathcal{C}^\infty(\mathbb{R}, \mathbb{R})$에 대해, $D = \{x \in {}^\bullet\mathbb{R} \mid x^2 = 0\}$에 속하는 모든 $h$에 대해 항등식 $f(h) = f(0) + h f'(0)$가 성립하며, 이는 나머지가 없는 일阶 테일러 전개를 형식화한다.
• 도함수 $f'(0)$는 조건 $\forall h \in D: f(h) = f(0) + h \cdot m$를 만족함으로써 유일하게 결정되며, 이는 이 설정에서 접선 기울기의 유일성을 증명한다.
• $(-)^{D_\alpha}$ 함자는 대수적 구조 $\mathbb{R}[x_1,\dots,x_n]/\langle x_i^{\alpha_i+1} \rangle$를 가진 Weil 함자이며, 곱과 당김을 유지하므로 고전적 미분기하학과 호환된다.
• 이차 접선 다성분체 $M^{D \times D}$는 $\mathbb{R}^{\bar{D}}$와 동형이며, 여기서 $\bar{D} = D(10) \times D(01) \times D(11)$이다. 이의 원소들은 편미분과 혼합 미분에 해당하는 증분 차이를 코딩한다.
• 이 구성은 벡터장을 무한소 변환으로, 접선 벡터를 무한소 곡선으로 내재적으로 다룰 수 있게 하며, 국소 좌표계 없이도 무한 차원 사상 다성분체 위에서 미분기하학을 직접적이고 내재적으로 기술할 수 있도록 한다.