[논문 리뷰] Infinitesimal Fourier Transformation for The Space of Functionals

Takashi Nitta, Tomoko Okada|ArXiv.org|2004. 05. 13.

Mathematical and Theoretical Analysis참고 문헌 4인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 초유한 격자와 이중 비표준 확장(${}^{\bullet}({}^*\mathbf{R})$)을 사용하여 비표준 확장된 공간 위의 함수에 대한 무한소 푸리에 변환을 도입한다. 내부 함수에 기반한 초유한 격자 위에서 함수를 모델링함으로써, 기존 키노시타와 고든의 무한소 푸리에 변환을 무한차원 함수에 일반화한다. 표준 부분이 변환의 결과로 수렴함을 증명하며, 비표준 설정에서 델타 함수의 행동과 가우시안 적분 근사에 대한 핵심 결과를 제시한다.

ABSTRACT

The purpose is to formulate a Fourier transformation for the space of functionals, as an infinitesimal meaning. We extend ${\bf R}$ to $ ^{\star}(^{\ast}{\bf R})$ under the base of nonstandard methods for the construction. The domain of a functional is the set of all internal functions from a $ ^{\ast}$-finite lattice to a $ ^{\ast}$-finite lattice with a double meaning. Considering a $ ^{\ast}$-finite lattice with a double meaning, we find how to treat the domain for a functional in our theory of Fourier transformation, and calculate two typical examples.

연구 동기 및 목표

• 함수에서 함수에 대한 무한소 푸리에 변환을 확장하기 위해 비표준 해석학 프레임워크를 개발함으로써, 이전의 함수에 대한 연구를 함수에 대한 것으로 확장한다.
• 피曼 경로 적분에서 고차 무한소가 필요한 문제를 해결하기 위해 실수의 이중 확장$^{ullet}({}^*\mathbf{R})$을 도입한다.
• 초유한 격자 위에서 내부 함수를 통해 무한차원 함수 공간을 모델링함으로써, 함수에 대한 엄밀한 무한소 푸리에 변환을 정의한다.
• 키노시타와 고든의 이산 푸리에 변환을 함수 설정으로 일반화하며, 델타 함수 유사 함수에 대해 $F\tilde{\rho} = 1$과 같은 핵심 성질을 유지한다.
• 표준 부분 사상에 의해 비표준 변환이 고전적 푸리에 변환으로 수렴함을 보이며, 특히 가우시안 및 델타 유사 함수에 대해 수렴을 보인다.

제안 방법

• 비표준 해석학을 사용하여 실수를 $^{ullet}({}^*\mathbf{R})$로 확장함으로써, 함수 공간에 필요한 고차 무한소와 무한대를 다룰 수 있도록 한다.
• 함수의 정의역을 초유한 격자 $[-H/2, H/2)$에서 다른 $[-H'/2, H'/2)$로 가는 내부 함수로 모델링함으로써, 함수의 이산 근사를 가능하게 한다.
• 키노시타와 고든의 영향을 받은 이산 푸리에 변환 공식을 채택함: $(F\tilde{\rho})(p) = \frac{1}{H} \text{sum over } z \text{ in } [-H^2/2, H^2/2) \text{ of } \text{exp}(-2\tilde{\rho}ipz/H) \tilde{\rho}(z/H)$.
• 비표준 변환에 표준 부분 사상(st)을 적용하여 고전적 푸리에 변환의 행동을 회복하며, $M \to \tilde{\rho}^{-1}$ 및 $M \tilde{\rho} \to \tilde{\rho}^{-1}$ 등의 조건에서 수렴을 보인다.
• 초유한 합과 비표준 해석학을 사용하여 $\mathbf{R}$ 위의 적분을 근사함: $\text{st}\big(\text{sum over } z \text{ of } \tilde{\rho} \text{exp}(-\tilde{\rho}^2 z^2)\big) = \text{int}_{-\mathbf{R}} \text{exp}(-x^2)dx = 1$.
• 지수 합의 경계를 통한 오차 항 분석을 수행하며, 이산 합과 적분 간의 차이가 $^{ullet}({}^*\mathbf{R})$에서 무한소임을 보이며, 예를 들어 $| \text{sum} - \text{int} | \to 0$ 이다. $\tilde{\rho} \to 0$ 일 때 성립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비표준 해석학을 사용하여 무한차원 공간 위의 함수에 대해 엄밀한 푸리에 변환을 어떻게 정의할 수 있는가?
• RQ2 이중 확장 $^{ullet}({}^*\mathbf{R})$를 통해 유도된 고차 무한소는 어떻게 일관된 함수 푸리에 변환을 가능하게 하는가?
• RQ3 비표준 푸리에 변환의 표준 부분이 고전적 푸리에 변환으로 수렴하는가?
• RQ4 델타 함수 유사 함수는 무한소 푸리에 변환에서 어떻게 행동하는가? 그리고 $F\tilde{\rho} = 1$을 만족하는가?
• RQ5 가우시안 또는 컴팩트 스포트를 가진 함수에 대해, 이산 비표준 변환이 연속 푸리에 변환을 얼마나 잘 근사하는가? 어떤 조건이 필요한가?

주요 결과

• 무한소 푸리에 변환의 표준 부분은 고전적 푸리에 변환으로 수렴하며, 가우시안 유형 함수에 대해 $\text{st}(\text{st}(C_2(b))) = 1$로 보여진다.
• 무한소 델타 함수 $\tilde{\rho}$의 변환은 $F\tilde{\rho} = 1$을 만족하며, 이는 고전적 성질을 비표준 설정으로 확장한다.
• 이산 합과 연속 적분 간의 오차는 $^{ullet}({}^*\mathbf{R})$에서 무한소이며, $\text{exp}(\tilde{\rho}^2) \times 2\tilde{\rho} \times \text{sum of exponentials}$ 와 같은 항으로 경계되며, 표준 부분에서는 소멸한다.
• 가우시안 함수에 대해 비표준 합 $\text{sum}_z \tilde{\rho} \text{exp}(-\tilde{\rho}^2 z^2)$ 의 표준 부분은 1과 같으며, 이는 $\text{int}_{-\mathbf{R}} \text{exp}(-x^2)dx = 1$ 과 일치한다.
• 가우시안과余弦 항의 곱의 변환은 고전적 적분 $\text{int} \text{exp}(-\tilde{\rho}^2(x^2 - b^2)) \text{cos}(2\tilde{\rho} b x) dx$ 로 수렴하며, 오차는 무한소 표현으로 경계된다.
• 역 변환의 성질도 유지된다: $(1 + 1/(N \text{int} \text{exp}(-\tilde{\rho}^2 x^2)dx))^{N} \to \text{exp}(-\text{int} \text{exp}(-\tilde{\rho}^2 x^2)dx)$ 이며, $N$ 이 무한대일 때 표준 부분은 1이 된다.