[논문 리뷰] Infinitesimal Weak Rigidity, Formation Control of Three Agents, and Extension to 3-dimensional Space

Seong‐Ho Kwon, Minh Hoang Trinh외 3명|arXiv (Cornell University)|2018. 03. 26.

Distributed Control Multi-Agent Systems참고 문헌 16인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 2차원 및 3차원 다중 에이전트 시스템을 위한 새로운 약한 강성 행렬과 무한소 약한 강성 프레임워크를 제안하며, 기존의 프레임워크를 변환하지 않고도 형성의 유일성을 랭크 조건을 통해 직접 검증할 수 있도록 한다. 이는 세 에이전트에 대한 기울기 제어 법칙이 거의 모든 초기 위치에서 목표 형성으로의 지수 수렴을 증명하고, 수정된 헨베르크 구축을 통해 3차원으로 이론을 확장한다.

ABSTRACT

In this paper, we introduce new concepts of weak rigidity matrix and infinitesimal weak rigidity for planar frameworks. The weak rigidity matrix is used to directly check if a framework is infinitesimally weakly rigid while previous work can check a weak rigidity of a framework indirectly. An infinitesimal weak rigidity framework can be uniquely determined up to a translation and a rotation (and a scaling also when the framework does not include any edge) by its inter-neighbor distances and angles. We apply the new concepts to a three-agent formation control problem with a gradient control law, and prove instability of the control system at any incorrect equilibrium point and convergence to a desired target formation. Also, we propose a modified Henneberg construction, which is a technique to generate minimally rigid (or weakly rigid) graphs. Finally, we extend the concept of the weak rigidity in R^2 to the concept in R^3.

연구 동기 및 목표

• 기존의 간접적인 변환 방법을 사용하지 않고도 새로운 약한 강성 행렬을 활용해 다중 에이전트 형성에서 약한 강성을 직접 확인할 수 있는 방법을 개발하는 것.
• 2차원 공간에서 기울기 제어 법칙을 사용한 세 에이전트 형성 제어 시스템의 안정성과 수렴성을 분석하는 것.
• 2차원에서의 약한 강성 개념을 3차원 공간으로 일반화하여 거리 및 각도 제약 조건이 혼합된 상황에서도 유일한 형성 형태를 결정할 수 있도록 하는 것.
• 모서리 기반 확장을 포함한 수정된 헨베르크 구축을 제안하여 최소 강성(약한 강성) 프레임워크를 생성하는 것.
• 무한소 약한 강성 이론을 사용해 거리 강성, 베어링 강성, 약한 강성을 하나의 이론적 프레임워크로 통합하는 것.

제안 방법

• R²에서 혼합된 거리 및 각도 제약 조건으로부터 약한 강성 행렬을 구성하며, 이 행렬의 랭크가 무한소 약한 강성을 결정한다.
• 약한 강성 행렬의 영공간이 강체 운동(이동, 회전, 스케일링)으로만 생성되는 조건으로서 무한소 약한 강성을 정의한다. 각도만으로 제약된 프레임워크의 경우 스케일링도 포함된다.
• R²에서 세 에이전트 형성에 기울기 제어 법칙을 적용하며, 제어 입력은 상호 에이전트 간 거리와 각도 기반 잠재 에너지 함수의 기울기에서 유도된다.
• 평형점에서의 자코비안을 계산하여 시스템 안정성을 분석하고, 잘못된 평형점이 적어도 하나의 양수 고유값을 가지므로 불안정함을 증명한다.
• R² 및 R³에서 새로운 에이전트를 각도 제약 조건을 통해 추가함으로써 최소 강성 프레임워크를 성장시키는 수정된 헨베르크 구축을 제안한다.
• 기존 프레임워크를 거리 제약 프레임워크로 변환하고 3차원 강성 이론을 적용함으로써 R³로의 약한 강성 이론을 확장하며, 3차원 강성 행렬의 랭크를 약한 강성의 기준으로 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기존의 프레임워크를 변환하지 않고도 혼합된 거리 및 각도 제약 조건을 가진 프레임워크의 약한 강성을 직접 확인할 수 있는가?
• RQ2 기울기 법칙을 사용한 세 에이전트 형성 제어 시스템이 거의 모든 초기 구성에서 목표 형성으로 수렴하기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ3 2차원에서의 약한 강성 개념을 3차원 공간으로 일반화하면서도 유일한 형성 형태 결정 능력을 유지할 수 있는가?
• RQ4 각도만으로 제약된 프레임워크의 경우 스케일링이 약한 강성 행렬의 영공간에서 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 모서리 기반 정점 확장을 사용하여 최소 강성 프레임워크를 생성할 수 있는 수정된 헨베르크 구축을 설계할 수 있는가?

주요 결과

• 약한 강성 행렬을 통해 R²에서 무한소 약한 강성을 행렬의 랭크를 확인하는 것으로 직접 검증할 수 있으며, 이는 거리만으로 구성된 프레임워크로의 간접 변환을 생략할 수 있다.
• R²에서 세 에이전트 형성 제어 시스템은 거의 모든 초기 위치에서 지수 안정성과 수렴성을 입증하였으며, 잘못된 평형점은 자코비안의 양수 고유값으로 인해 불안정하다.
• R²에서 무한소 약하게 강성된 프레임워크는 약한 강성 행렬의 영공간이 강체 운동(이동 및 회전)으로만 생성되며, 각도만으로 제약된 프레임워크의 경우 스케일링도 영공간의 구성 요소로 포함된다.
• 수정된 헨베르크 구축은 새로운 에이전트를 각도 제약 조건을 통해 추가함으로써 최소 강성(약하게 강성) 프레임워크를 생성할 수 있게 하여 확장 가능한 형성 설계를 가능하게 한다.
• R³에서 프레임워크가 약하게 강성일 조건은 변환된 거리만 제약된 프레임워크의 강성 행렬 랭크가 3n−6이어야 하며, 이 조건은 일반적인 구성에 대해 필수적이고 충분하다.
• R³에서의 전역 약한 강성은 변환된 거리만 제약된 프레임워크가 전역적으로 강성일 때에만 성립하며, 이는 局부 약한 강성 결과를 전역 경우로 확장한다.