[논문 리뷰] (Infinity,2)-Categories and the Goodwillie Calculus I

Jacob Lurie|ArXiv.org|2009. 05. 04.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 30인용 수 27

한 줄 요약

이 논문은 완비 세갈 공간과 세갈 범주를 이용하여 (∞,2)-범주에 대한 기초 프레임워크를 수립하고, 쿠일렌 동치를 통해 다양한 모델을 통합하며, 양호이 유산자 계산에 응용하여 함자에 대한 선형화를 체계화하고 안정적 ∞-범주에서의 단순성 결과를 증명한다. 주요 기여는 ∞-이중범주와 유도 대수적 구조를 통한 함자 계산의 체계적 연구를 가능하게 하는 호모토피적 프레임워크를 제공하는 것이다.

ABSTRACT

The bulk of this paper is devoted to the comparison of several models for the theory of (infinity,2)-categories: that is, higher categories in which all k-morphisms are invertible for k > 2 (the case of (infinity,n)-categories is also considered). Our ultimate goal is to lay the foundations for a study of Tom Goodwillie's calculus of functors. To this end, we have included some simple applications to the theory of first derivatives.

연구 동기 및 목표

• 완비 세갈 공간과 세갈 범주를 이용하여 (∞,2)-범주에 대한 일관된 호모토피적 프레임워크를 개발한다.
• 쿼시카테고리, 단순체 범주, 세갈 범주와 같은 (∞,1)-범주의 다양한 모델을 쿠일렌 동치를 통해 통합한다.
• ∞-이중범주에서의 함자에 대한 선형화를 체계화하여 양호이 유산자 계산을 고차 범주론적 환경으로 확장한다.
• ∞-범주적 설정에서 바르-베이크 유형 정리들을 활용하여 안정적 ∞-범주 간의 함자에 대한 단순성 결과를 증명한다.

제안 방법

• 완비 세갈 공간과 세갈 범주를 (∞,2)-범주의 모델로 사용하며, 후자는 세갈 조건을 만족하는 이중단순체로 정의된다.
• 세갈 범주 위의 프로젝티브 및 임베딩 모델 구조를 적용하여 다양한 (∞,1)-범주 모델 간의 쿠일렌 동치를 수립한다.
• 스케일드 단순체 집합에서 국소적으로 공코일레르 범주적 피브레이션의 스트레이트닝 및 언스트레이트닝 구성에 응용한다.
• 스케일드 슬라이스 구성과 SetΔ⁺-강화 범주 간의 관계를 통해 ∞-이중범주 구조를 도입한다.
• ∞-범주적 설정에서 바르-베이크 정리를 적용하여 안정적 ∞-범주 간의 함자에 대한 단순성 결과를 증명한다.
• Ω∞−n 함자를 사용하여 스펙트럼의 ∞-범주에서의 코일리미트가 기저 범주에서의 것과 관련되도록 하며, 보존성과 분할된 단순체 대상들을 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 완비 세갈 공간과 세갈 범주를 이용하여 (∞,2)-범주를 체계적으로 모델링할 수 있는 방법은 무엇이며, 이러한 모델 간의 관계는 어떻게 되는가?
• RQ2 국소적으로 공코일레르 피브레이션의 맥락에서 스트레이트닝과 언스트레이트닝의 역할은 무엇인가?
• RQ3 함자에 대한 선형화 측면에서 양호이 유산자 계산을 고차 범주론적 프레임워크로 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ4 ∞-범주적 설정에서 연이은 함자들 사이에서 단순성이 어떻게 유지되는가?
• RQ5 스펙트럼의 ∞-범주에서의 코일리미트와 기저 안정적 ∞-범주에서의 코일리미트 간의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 완비 세갈 공간의 범주는 호모토피 일관성 네트워크와 그 왼쪽 수반 함자에 의해 단순체 범주와 쿠일렌 동치이다.
• 완비 세갈 공간에서 전이 범주로의 잊혀진 함자는 전이 범주에서의 오른쪽 쿠일렌 동치를 이룬다. 이는 (∞,1)-범주의 다양한 모델 간의 다리를 쌓는 데 기여한다.
• 스트레이트닝 및 언스트레이트닝 함자는 ∞-범주로의 값이 주어진 함자와 기저 ∞-범주 위의 피브레이션 간의 동치를 제공한다.
• SetΔ⁺-강화 범주에서의 ∞-이중범주 구조는 스케일드 슬라이스 구성과 동치이며, 이는 (∞,2)-범주의 모델을 제공한다.
• 중간 함자가 보존적이며 오른쪽 함자가 단순성일 경우, ∞-범주적 설정에서 바르-베이크 유형 정리를 통해 단순성이 합성에 대해 유지됨을 보였다.
• Sp(D)에서 g-분할된 단순체 대상의 코일리미트는 존재하며, 기저 범주 D가 안정적이고 G가 보존적인 경우 Ω∞−n에 의해 유지된다.