[논문 리뷰] Inflationary Cosmology, Diffeomorphism Group of the Line and Virasoro Coadjoint Orbits

James E. Lidsey|arXiv (Cornell University)|2018. 02. 26.

Cosmology and Gravitation Theories인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 인플레이션 우주론과 직선 위에서 미분형식군의 공액작용 사이의 동적 등가성을 확립하며, 스칼라 장의 운동에너지가 시간 재매개변수화의 색소비안 미분과 일치함을 규명한다. 인플레이션 해는 ${\rm Diff}^{+}(\mathbb{R})/SL(2,\mathbb{R})$ 위의 궤도 상의 점으로 나타나며, 바이라소로 공액궤도 구조는 해밀토니안 생성자가 스칼라 장의 운동에너지에 해당하는 심플렉틱 프레임워크를 제공하여, 우주론을 등각장 이론과 중력 dualities와 연결한다.

ABSTRACT

The cosmological field equations sourced by a self-interacting scalar field are dynamically equivalent to a closed system of equations obtained by applying the moment method to non-linear Schrödinger equations possessing an underlying non-relativistic conformal $SL(2,\mathbb{R})$ symmetry. We consider the one-dimensional, quintic Schrödinger equation relevant to strongly repulsive, dilute Bose gases. The action of the diffeomorphism group on the space of Schrödinger operators generates an harmonic trapping potential that can be identified with the kinetic energy of the cosmological scalar field. Inflationary cosmologies are represented by points on the orbit of the de Sitter solution, which is the quotient manifold ${ m Diff}(\mathbb{R})/SL(2,\mathbb{R})$. Key roles are played by the Schwarzian derivative of the diffeomorphism and the Ermakov-Pinney equation. The underlying $SL(2,\mathbb{R})$ symmetry results in a first integral constraint which ensures energy-momentum conservation. When the analysis is restricted to the universal cover group of diffeomorphisms on the circle, the generation of a rolling scalar field can be understood in terms of the Virasoro coadjoint action. The corresponding symplectic two-form and Hamiltonian generator of the coadjoint orbit are determined by the scalar field kinetic energy.

연구 동기 및 목표

• 미분형식군 $\mathrm{Diff}^{+}(\mathbb{R})$ 가 슈뢰딩거 연산자에 작용하는 데 기반한 인플레이션 우주론과의 동적 등가성을 확립하기 위해.
• 우주론에서 스칼라 장의 운동에너지가 시간 재매개변수화의 색소비안 미분과 대응됨을 보여주기 위해.
• 인플레이션 해가 $\mathrm{Diff}^{+}(\mathbb{R})/SL(2,\mathbb{R})$ 위의 공액궤도 상의 점으로 나타나며, 데 시터 해가 기저점으로서 기능함을 보여주기 위해.
• 원환면 위의 미분형식군의 보편 덮개로 제한되었을 때, 유도된 우주론적 역학이 바이라소 공액작용과 연결됨을 보여주기 위해.
• 궤도의 심플렉틱 구조와 해밀토니안 생성자를 스칼라 장의 운동에너지 관점에서 해석하여, 2차원 CFT와 중력 dualities와의 연결 고리를 제공하기 위해.

제안 방법

• 분석은 $SL(2,\mathbb{R})$ 등각 대칭성을 지닌 1차원 고립형 비선형 슈뢰딩거 방정식에 모멘트 방법을 적용한다.
• 미분형식군 $\mathrm{Diff}^{+}(\mathbb{R})$ 는 슈뢰딩거 연산자에 작용하여 스칼라 장의 운동에너지로 식별되는 조화 퍼텐셜을 생성한다.
• 미분형식의 색소비안 미분은 스칼라 장의 운동에너지로 식별되며, 이는 공액궤도의 심플렉틱 생성자로 작용한다.
• 시스템의 역학은 $SL(2,\mathbb{R})$-불변 모멘트 방정식에서 유도되는 에르마코프-피니 방정식으로 규정된다.
• 원환면 위의 $\mathrm{Diff}^{+}(S^{1})$ 의 보편 덮개로 제한되었을 때, 작용은 바이라소 공액작용으로 변환되며, 비자명한 중심 전하가 스칼라 장의 굴러가는 해를 가능하게 한다.
• 궤도 상의 심플렉틱 2형식과 해밀토니안 생성자는 명시적으로 계산되며, 후자는 $\int d\tau (d\phi/d\tau)^2$ 와 비례한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 인플레이션 우주론은 어떻게 미분형식군 $\mathrm{Diff}^{+}(\mathbb{R})$ 가 슈뢰딩거 연산자에 작용하는 궤도로 기술될 수 있는가?
• RQ2 색소비안 미분은 어떻게 미분형식 작용과 스칼라 장의 운동에너지 사이의 연결 고리로 기능하는가?
• RQ3 $SL(2,\mathbb{R})$ 대칭성은 모멘트 방정식에서 에너지-운동량 보존을 어떻게 보장하는가?
• RQ4 바이라소 공액궤도 $\mathcal{O}_{(0,c)}$ 는 굴러가는 스칼라 장 역학을 기술하는 데 어떤 의미를 지닌다?
• RQ5 궤도의 심플렉틱 구조는 에너지 함수 $E = \int d\tau (d\phi/d\tau)^2$ 를 갖는 2차원 CFT로 해석될 수 있는가?

주요 결과

• 인플레이션 우주론은 기저점으로 데 시터 해를 지닌 몫 다양체 $\mathrm{Diff}^{+}(\mathbb{R})/SL(2,\mathbb{R})$ 상의 점으로 표현된다.
• 스칼라 장의 운동에너지는 미분형식 $\beta$ 의 색소비안 미분 $S[\beta](\tau)$ 와 일치하며, 이는 심플렉틱 생성자로 작용한다.
• 에르마코프-피니 방정식은 파동함수 모멘트의 역학을 규정하며, $\mathrm{Diff}^{+}(\mathbb{R})$ 에서의 모멘트 체계 닫힘을 보장한다.
• 바이라소 공액궤도 $\mathcal{O}_{(0,c)}$ 는 굴러가는 스칼라 장을 위한 심플렉틱 프레임워크를 제공하며, 해밀토니안 생성자 $H_\epsilon \sim \int d\tau (d\phi/d\tau)^2$ 를 갖는다.
• 중심 전하 $c$ 는 $c = 3/G$ 를 통해 뉴턴 상수와 관련되며, CFT의 에너지 함수는 스칼라 장의 운동에너지 $E = \int d\tau (d\phi/d\tau)^2$ 와 일치한다.
• 이 구성은 인플레이션 우주론과 저차원 중력 사이의 형식적 연결 고리를 시사하며, 특히 $\mathrm{BMS}_3/{\rm CFT}_2$ 대응과 SYK 모델의 색소비안 작용을 통해 가능하다.