[논문 리뷰] Influence of a spatial structure on the long time behavior of a competitive Lotka-Volterra type system

Hélène Leman, Sylvie Méléard외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 01. 06.

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models참고 문헌 7인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 유형과 공간에 의해 구조화된 인구를 모델링하는 비국소적 경쟁 Lotka-Volterra 시스템을 다루며, 공간적 확산과 비국소적 경쟁을 수반한다. 평형 상태의 존재성을 확립하고, 장기적 행동이 경쟁률과 주된 고유값에 의해 결정됨을 증명하며, 매개변수의 임계값에 따라 한 종이 지배하거나 공존이 발생할 수 있음을 보여준다.

ABSTRACT

To describe population dynamics, it is crucial to take into account jointly evolution mechanisms and spatial motion. However, the models which include these both aspects, are not still well-understood. Can we extend the existing results on type structured populations, to models of populations structured by type and space, considering diffusion and nonlocal competition between individuals? We study a nonlocal competitive Lotka-Volterra type system, describing a spatially structured population which can be either monomorphic or dimorphic. Considering spatial diffusion, intrinsic death and birth rates, together with death rates due to intraspecific and interspecific competition between the individuals, leading to some integral terms, we analyze the long time behavior of the solutions. We first prove existence of steady states and next determine the long time limits, depending on the competition rates and the principal eigenvalues of some operators, corresponding somehow to the strength of traits. Numerical computations illustrate that the introduction of a new mutant population can lead to the long time evolution of the spatial niche.

연구 동기 및 목표

• 공간적 구조와 비국소적 경쟁이 구조화된 인구의 장기적 동역학에 미치는 영향을 이해하기 위해.
• 유형 구조 모델의 결과를 형질적 및 공간적 구조를 모두 포함하는 시스템으로 확장하기 위해.
• 확산과 적분 경쟁 항을 포함한 두 종(단형/이형) 인구 모델에서 평형 상태의 존재성과 안정성 분석하기 위해.
• 장기적으로 한 종이 지배하거나 공존이 발생하는 조건을 규명하기 위해.
• 장기적 행동을 통해 돌연변이의 침입이 공간 생태적 니치 진화에 미치는 영향을 조사하기 위해.

제안 방법

• 확산( m₁, m₂), 공간에 의존하는 성장률( a₁(x), a₂(x)), 그리고 적분 항( I_ij)을 통한 비국소적 경쟁을 포함하는 두 개의 연결된 편미분방정식(PDE) 시스템을 통해 이형 인구를 모델링한다.
• 영역 경계 ∂X에서 인구 이동이 없음을 모델링하기 위해 노이만 경계 조건을 적용한다.
• 에너지 추정과 관련 선형 연산자의 스펙트럼 분석을 사용하여 해의 점근적 극한을 분석함으로써 장기적 행동을 연구한다.
• 시스템을 평형점 주변에서 선형화하여 국소적 안정성을 평가하기 위해 하르트먼-그로브먼 정리를 적용한다.
• 초기 조건을 주된 고유함수의 부공간에 제한하여 역학을 2차원 Lotka-Volterra 시스템으로 단순화하기 위해 부분공간 축소 기법을 사용한다.
• L² 및 L∞ 수렴 결과를 활용하여 특정 매개변수 영역에서 해가 평형 상태로 수렴함을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 장기적으로 한 종이 다른 종을 지배하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 경쟁 연산자의 주된 고유값이 평형 상태의 안정성에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ3 새로운 돌연변이 종의 도입이 장기적인 공간 생태적 니치 진화를 유도할 수 있는가?
• RQ4 두 종의 공존 또는 한 종의 배제가 발생하는 조건은 무엇인가?
• RQ5 비국소적 경쟁과 공간적 확산의 상호작용이 시스템의 점근적 행동에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 시스템은 네 개의 음이 아닌 평형 상태를 가진다: (0,0), (ḡ₁,0), (0,ḡ₂), 및 (ḡ₁,ḡ₂), 여기서 (ḡ₁,0)과 (0,ḡ₂)는 단형 평형 상태이다.
• H₁ > 0 이고 H₂μ₁₁ − H₁μ₂₁ < 0 라면 평형 상태 (ḡ₁,0)는 전역적으로 점근적으로 안정하다. 이는 유형 1이 내재된 성장률과 경쟁 매개변수 조건을 만족할 경우 지배함을 의미한다.
• H₁ > 0 이고 H₂μ₁₁ − H₁μ₂₁ < 0 라면 평형 상태 (0,ḡ₂)는 불안정하지만, 일부 해는 여전히 이에 수렴하므로 조건부 안정성을 보인다.
• H₁μ₂₂ − H₂μ₁₂ = 0 이고 H₂μ₁₁ − H₁μ₂₁ < 0 이면, (ḡ₁,0)로의 수렴과 (0,ḡ₂) 근처의 수렴하지 않는 행동이 혼합되며, 이는 후자의 불안정성을 확인한다.
• ∫|g₂(t,x)|²dx → 0 이고 ∫|g₁(t,x)|²dx 가 0에서 멀리 떨어져 있을 때, 해의 장기적 극한은 (ḡ₁,0)이 된다. 이는 제시된 매개변수 조건에서 발생한다.
• 수치적 예시는 돌연변이의 침입이 장기적 공간 생태적 니치 진화를 이끌 수 있음을 확인하며, 공간 구조가 진화적 역학에서 중요한 역할을 함을 강조한다.