[논문 리뷰] Information geometry and entropy in a stochastic epidemic rate process

C. T. J. Dodson|arXiv (Cornell University)|2009. 03. 17.

COVID-19 epidemiological studies참고 문헌 22인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 병원체의 잠복기와 전염성 기간 간의 상관관계를 반영하기 위해 McKay 이元분포를 도입함으로써 확률적 유행병 모델을 확장한다. 이를 통해 유행병의 확산, 비균일성의 변화, 엔트로피 감쇠에 대한 명시적 해석적 해를 도출할 수 있다. 연구 결과는 잠복기의 변동성이 유행병 확산률을 증가시키고, 전염성의 변동성이 감소시킨다는 것을 보여주며, 상관관계가 존재하더라도 이러한 결과가 유지됨을 확인한다. 또한 지수 기반 과정에서의 리만 거리로 측정 가능한 정보 기하학적 프레임워크를 제공하여 유행병 진행 상황을 정량화한다.

ABSTRACT

Epidemic models with inhomogeneous populations have been used to study major outbreaks and recently Britton and Lindenstrand \cite{BL} described the case when latency and infectivity have independent gamma distributions. They found that variability in these random variables had opposite effects on the epidemic growth rate. That rate increased with greater variability in latency but decreased with greater variability in infectivity. Here we extend their result by using the McKay bivariate gamma distribution for the joint distribution of latency and infectivity, recovering the above effects of variability but allowing possible correlation. We use methods of stochastic rate processes to obtain explicit solutions for the growth of the epidemic and the evolution of the inhomogeneity and information entropy. We obtain a closed analytic solution to the evolution of the distribution of the number of uninfected individuals as the epidemic proceeds, and a concomitant expression for the decay of entropy. The family of McKay bivariate gamma distributions has a tractable information geometry which provides a framework in which the evolution of distributions can be studied as the outbreak grows, with a natural distance structure for quantitative tracking of progress.

연구 동기 및 목표

• 잠복기와 전염성 기간 간의 상관관계를 이원분포로 모델링하여 독립적인 분포의 한계를 극복한다.
• 유행병 동안 감염되지 않은 인원 수와 정보 엔트로피의 변화에 대한 명시적 해석적 해를 제공한다.
• 지수 기반 과정에서의 리만 거리로 측정 가능한 정보 기하학적 프레임워크를 개발하여 유행병 진행 상황을 정량화한다.
• 잠복기와 전염성 간의 상관관계가 Malthusian 성장률과 유행병 역학에 미치는 영향을 조사한다.
• Britton & Lindenstrand의 이전 결과를 독립적인 경우에서 상관관계가 있는 경우로 확장하면서도 성장률 민감도에 대한 핵심 통찰을 유지한다.

제안 방법

• McKay 이원분포를 사용해 잠복기와 전염성 기간의 공동 분포를 모델링하여 두 확률변수 간의 상관관계를 허용한다.
• 스토케스틱 비율 과정 기법을 적용하여 감염되지 않은 인원의 분포 시간 진화에 대한 폐쇄형 해석적 해를 유도한다.
• McKay 이원분포 가족의 정보 기하학을 활용해 리만 메트릭을 정의하고 지수 기반 분포로부터의 정보 거리를 계산한다.
• 이원분포의 형태 및 척도 매개변수를 포함한 해석적 표현을 통해 Malthusian 성장률의 명시적 표현을 유도한다.
• 피셔 정보 메트릭을 사용하여 유행병 진행의 부수적 결과로 정보 엔트로피 감쇠를 계산한다.
• 다이감마 함수와 감마 함수 도함수를 사용해 정보 거리를 폐쇄형으로 표현함으로써 매개변수 공간의 수치적 시각화를 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 잠복기와 전염성 기간 간의 상관관계가 유행병의 Malthusian 성장률에 미치는 영향은 무엇인가?
• RQ2 잠복기의 변동성 증가로 인한 성장률 증가와 전염성의 변동성 증가로 인한 성장률 감소라는 상반된 효과가 상관관계 하에서도 유지되는가?
• RQ3 비균일한 기간을 가진 확률적 유행병에서 감염되지 않은 인원의 분포 진화에 대한 해석적 형태는 무엇인가?
• RQ4 정보 기하학은 지수(포isson) 기반 과정에서의 거리 측정을 통해 어떻게 유행병 진행 상황을 정량화할 수 있는가?
• RQ5 정보 엔트로피 감쇠에 대한 폐쇄형 표현식은 비균일 분포의 진화와 어떤 관계가 있는가?

주요 결과

• 심지어 상관관계가 존재하더라도 평균 잠복기 및 전염성 기간이 증가할수록 Malthusian 성장률은 단조 감소한다.
• 잠복기의 변동성이 클수록 유행병 확산률이 증가하고, 전염성의 변동성이 클수록 감소함을 확인하였으며, 이는 Britton & Lindenstrand의 독립적인 경우 결과를 확인한다.
• 감염되지 않은 인원의 분포 시간 진화에 대한 폐쇄형 해석적 해가 도출되어 유행병 역학의 정밀한 추적을 가능하게 한다.
• 정보 엔트로피는 시간이 지남에 따라 단조 감소하며, 이는 스토케스틱 비율 과정과 피셔 정보 메트릭으로부터 유도된 부수적 표현이다.
• 지수 기반 과정에서의 정보 거리(리만 메트릭을 통한)에 대한 명시적 공식이 도출되었으며, 이는 각각 잠복기(식 28)와 전염성(식 29)에 대해 적용 가능하여 다양한 유행병 시나리오 간의 정량적 비교를 가능하게 한다.
• McKay 이원분포 가족은 실현 가능한 정보 기하학적 프레임워크를 제공하며, 그림 7과 8에 나타난 시각화 가능한 거리 표면은 지수 과정에서의 이탈을 나타낸다.