[논문 리뷰] Information geometry and the hydrodynamical formulation of quantum mechanics

Mathieu Molitor|arXiv (Cornell University)|2012. 04. 03.

Quantum Mechanics and Applications참고 문헌 5인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 밀도 함수의 무한차원 정보기하학적 프레임워크를 구축하여, 컴act 리만다이만다이만 다각형 위의 매끄러운 확률 밀도 공간에 피셔 유사 리만계량과 지수형 아핀접속을 부여함으로써 양자역학을 수립한다. 도름브로스키의 구성법을 통해 접속다발 위에 해밀턴형 구조를 유도하고, 이는 슈뢰딩거 방정식을 재현하며, 유체역학적 형태로 표현된 양자역학과 정보기하학을 연결한다.

ABSTRACT

Let (M,g) be a compact, connected and oriented Riemannian manifold. We denote D the space of smooth probability density functions on M. In this paper, we show that the Frechet manifold D is equipped with a Riemannian metric g^{D} and an affine connection abla^{D} which are infinite dimensional analogues of the Fisher metric and exponential connection in the context of information geometry. More precisely, we use Dombrowski's construction together with the couple (g^{D}, abla^{D}) to get a (non-integrable) almost Hermitian structure on D, and we show that the corresponding fundamental 2-form is a symplectic form from which it is possible to recover the usual Schrodinger equation for a quantum particle living in M. These results echo a recent paper of the author where it is stressed that the Fisher metric and exponential connection are related (via Dombrowski's construction) to Kahler geometry and quantum mechanics in finite dimension.

연구 동기 및 목표

• 유한차원 정보기하학의 구조—특히 피셔 계량과 지수형 접속—을 리만다이만다이만 다각형 위의 매끄러운 확률밀도의 무한차원 공간으로 일반화하는 것.
• 유체역학적 형태로 표현된 양자역학이 정보기하학의 기하적 구조에서 유도될 수 있는지 조사하는 것.
• 확률밀도의 통계다양체의 접속다발 위에서 도름브로스키의 구성법으로 유도된 심플렉틱 형식과 슈뢰딩거 방정식 사이의 대응관계를 수립하는 것.
• 양자역학에서 웨이브 함수가 변화하는 확률밀도의 기하적 구조로부터 자연스럽게 유도됨을 보여주는 것. 이를 통해 유한차원 결과를 일반화하는 것.

제안 방법

• 콤팩트 리만다이만다이만 다각형 $(M,g)$ 위의 단위 총측도를 가지는 매끄럽고 양의 확률밀도의 프레셰 다양체 $\mathcal{D}$ 를 정의한다.
• 도름브로스키의 구성법을 사용하여 $\mathcal{D}$ 위에 무한차원 피셔 계량 $g^{\mathcal{D}}$ 와 지수형 접속 $\nabla^{\mathcal{D}}$ 의 무한차원 유사체를 구성한다.
• 쌍 $(g^{\mathcal{D}}, \nabla^{\mathcal{D}})$ 에 도름브로스키의 방법를 적용하여 접속다발 $T\mathcal{D}$ 위에 거의 헤르미트 기하구조를 얻는다.
• 이 거의 헤르미트 기하구조의 기본 2형식이 심플렉틱임을 보이고, 이는 시스템의 동역학을 지배한다.
• 에너지 함수에 대응하는 해밀턴 벡터장과의 연관성을 통해 이 심플렉틱 구조로부터 슈뢰딩거 방정식을 도출한다.
• 확률밀도의 유체역학적 분해 $\rho = |\psi|^2$, $\phi = \text{Im}(\log \psi)$ 에 기반하여 웨이브 함수 $\Psi = \sqrt{\rho} e^{-i\phi/\hbar}$ 를 구성함으로써 확률밀도와 양자 상태 사이의 연결을 수립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 리만다이만다이만 다각형 위의 매끄러운 확률밀도의 무한차원 공간으로 피셔 계량과 지수형 접속을 일반화할 수 있는가?
• RQ2 이 무한차원 통계다양체 위에서 도름브로스키의 구성법이 슈뢰딩거 방정식을 재현하는 심플렉틱 구조를 유도하는가?
• RQ3 양자역학의 웨이브 함수는 정보기하학에서 변화하는 확률밀도의 기하적 구조와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 무한차원에서 정보기하학 원리로부터 양자역학의 유체역학적 형태가 도출될 수 있는가?
• RQ5 표준 양자역학 체계가 이 구성법을 통해 순수하게 통계적이고 기하학적 기초로부터 유도될 수 있는가?

주요 결과

• 콤팩트 리만다이만다이만 다각형 $(M,g)$ 위의 매끄러운 확률밀도 공간 $\mathcal{D}$ 는 피셔 계량과 지수형 접속의 무한차원 유사체인 리만계량 $g^{\mathcal{D}}$ 와 아핀접속 $\nabla^{\mathcal{D}}$ 를 지닌다.
• 도름브로스키의 구성법을 $(g^{\mathcal{D}}, \nabla^{\mathcal{D}})$ 에 적용하면, 비분리 가능한 거의 헤르미트 기하구조가 $T\mathcal{D}$ 위에 유도되며, 이 기하구조의 기본 2형식은 심플렉틱하다.
• 이 심플렉틱 형식은 $M$ 위의 양자입자에 대해 잠재력 $V$ 를 가진 슈뢰딩거 방정식을 재현하는 해밀턴류를 생성한다.
• 밀도 $\rho$ 의 유체역학적 분해에서 유도된 웨이브 함수 $\Psi = \sqrt{\rho} e^{-i\phi/\hbar}$ 는 통계다양체를 복소 $L^2$ 함수의 힐베르트 공간에 자연스럽게 통합하는 데 기여한다.
• 이 구성법은 유한차원 결과를 일반화한다: 도름브로스키의 방법에 의한 $T\mathcal{P}_n^\times$ 위의 카플러 기하구조는 $\mathbb{P}(\mathbb{C}^n)$ 와 동형이며, 본 논문은 이를 무한차원으로 확장한다.
• 논문은 정보기하학 원리로부터 양자역학의 기하학적 유도를 수립하여, 웨이브 함수와 헤르미트 연산자가 확률밀도 위의 통계적 구조에서 자연스럽게 유도됨을 시사한다.