[논문 리뷰] Information storing yields a point-asymmetry of state space in general probabilistic theories

Keiji Matsumoto, Gen Kimura|arXiv (Cornell University)|2018. 02. 04.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 2인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 일반적 확률 이론(GPTs)에서 정보 저장 용량과 기하학적 비대칭성 사이의 기본적인 연결 고리를 설정하며, 민코프스키 비대칭성 측도(m)가 정보 저장 능력(n)에서 1을 뺀 값과 같음을 증명한다. 핵심 기여는 정보-비대칭성 식 m = n − 1로, 더 많은 정보를 저장할 수 있는 시스템은 본질적으로 비대칭적인 상태 공간을 가져야 하며, 이는 큐비트의 대칭 블로흐 구를 초월해 고차원 양자 상태 공간의 복잡성을 설명한다.

ABSTRACT

It is known that the high-dimensional quantum state space is notoriously complicated in contrast with the beautiful Bloch ball of the qubit. We examined the mechanism behind this fact in the frame work of general probabilistic theory (GPT), and found rather general quantitative relations between the geometry of the state space and its information storing capability. The main result is the information-asymmetry identity, which (up to the constant term) equates the {\it Minkowski measure of asymmetry} with the {\it information storability} which, in addition to its own operational meaning, serves as an upper bound to common information measures such as semi-classical capacity. As a consequence, the asymmetry measure is lower-bounded by information storing capability of the state space, so the increase in the latter enhances the former. Coming back to the quantum systems, the $d$-level state space cannot be symmetric "because" it can store more than a single bit of information. Also, the Holevo capacity of any quantum channel with point-symmetric image is at most a single bit. In the course of the research, we applied Shannon theory to GPT, producing a couple of new results. Also presented is a new geometrical proof of known upper bounds to information measures.

연구 동기 및 목표

• 고차원 양자 상태 공간이 큐비트 블로흐 구와는 달리 기하학적으로 복잡한 이유를 이해하기 위해.
• 물리적 이론에서 정보 저장 능력과 관련된 내재된 기하학적 특성을 규명하기 위해.
• 일반적 확률 이론(GPTs)을 사용해 양자 이론과 고전 이론을 초월한 일반적 프레임워크를 개발하여 구조적 원리를 분리하기 위해.
• 표준 정보 측도인 반-고전적 용량과 같은 측도들을 상한으로 제시하는 정보 저장 능력(n)의 정의와 운영화를 위해.
• GPTs에서 기하학적 비대칭성(민코프스키 측도 m를 통해)과 정보 용량(n) 사이의 보편적 항등식을 수립하기 위해.

제안 방법

• 민코프스키 측도 m을 볼록 상태 공간 내의 점 대칭성에 대한 애핀 불변 기하 측도로 도입하며, m = 1은 완전한 점 대칭성을 나타낸다.
• 정보 저장 능력 n을 일반적 확률 이론(GPT) 버전의 고전-양자(CQ) 채널 프로토콜에서 정확히 저장된 메시지의 평균 최대 수로 정의한다.
• GPTs에서 볼록 쌍대성과 선형 프로그래밍 기법을 사용해 정보-비대칭성 항등식 m = n − 1을 유도한다.
• 샤논 정보 이론을 GPTs에 적용해 정보 측도의 상한을 유도하며, 반-고전적 용량과 최대 상대 엔트로피를 포함한다.
• 정수형 프로그래밍의 강력한 이중성 원리를 사용해 최적 측정 전략과 헬스트롬 가족이 존재함을 증명하고, 상태 구분에 적용한다.
• m ≥ n − 1이 보편적으로 성립하며, 모든 GPT 모델에서 등호가 성립함을 보이며, 상태 집합과 측정에 대한 최적화를 통해 m = n − 1을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 물리적 이론에서 어떤 상태 공간의 기하학적 성질이 정보 저장 용량과 본질적으로 연결되어 있는가?
• RQ2 d > 2일 때 d-레벨 양자 시스템의 상태 공간은 왜 큐비트 상태 공간과는 달리 기하학적으로 복잡한가?
• RQ3 모든 일반적 확률 이론에서 기하학적 비대칭성과 정보 용량을 연결하는 보편적 항등식을 도출할 수 있는가?
• RQ4 정보 저장 능력 n은 완전히 구별 가능한 상태의 수나 반-고전적 용량과 같은 다른 표준 정보 측도와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 GPTs에서 알려진 정보 측도 상한에 대한 일반적 기하 증명이 존재하는가?

주요 결과

• 정보-비대칭성 항등식 m = n − 1는 모든 일반적 확률 이론에서 보편적으로 성립하며, 기하학적 비대칭성과 정보 용량을 연결한다.
• 민코프스키 비대칭성 측도 m는 n − 1로 하한이 있으며, 이는 더 높은 정보 저장 능력이 더 큰 기하학적 비대칭성을 유도함을 의미한다.
• d-레벨 양자 시스템의 경우 m = d − 1이며, 이는 큐비트의 경우(여기서 m = 1)를 초월해 상태 공간의 복잡성을 설명한다.
• 이상적인 상태 공간을 갖는 어떤 양자 채널의 홀로보 용량은 최대 1비트이며, 이는 항등식의 직접적인 결과이다.
• 정보 저장 능력 n은 반-고전적 용량과 완전히 구별 가능한 상태의 수에 대한 상한으로서 기능하며, 큐비트의 경우 n = 2이다.
• 임의의 유한한 상태 집합과 사전 분포에 대해 헬스트롬 가족이 존재함을 증명하여, 정보 저장 능력 측도의 최적성과 관련된 결과를 도출한다.