[논문 리뷰] Information-Theoretic Lower Bounds on the Storage Cost of Shared Memory Emulation

Viveck R. Cadambe, Zhiying Wang외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 05. 22.

Distributed systems and fault tolerance참고 문헌 21인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 이종적이고 장애 내성적인 분산 시스템에서 원자적 공유 메모리의 에뮬레이션을 위한 스토리지 비용에 대한 정보이론적 하한을 설정한다. 서버 간의 소통이 없더라도 총 스토리지 비용은 최소 $ 2\frac{N}{N-f+1}\log_2|\mathcal{V}|-o(\log_2|\mathcal{V}|) $이며, 소통이 있다면 이 bound는 $ 2\frac{N}{N-f+2}\log_2|\mathcal{V}|-o(\log_2|\mathcal{V}|) $로, 이는 이전의 하한보다 크게 향상되었고 복제 및 에러 복구 인코딩 기법에 대해 일반적으로 적용된다.

ABSTRACT

The focus of this paper is to understand storage costs of emulating an atomic shared memory over an asynchronous, distributed message passing system. Previous literature has developed several shared memory emulation algorithms based on replication and erasure coding techniques. In this paper, we present information-theoretic lower bounds on the storage costs incurred by shared memory emulation algorithms. Our storage cost lower bounds are universally applicable, that is, we make no assumption on the structure of the algorithm or the method of encoding the data. We consider an arbitrary algorithm $A$ that implements an atomic multi-writer single-reader (MWSR) shared memory variable whose values come from a finite set $\mathcal{V}$ over a system of $N$ servers connected by point-to-point asynchronous links. We require that in every fair execution of algorithm $A$ where the number of server failures is smaller than a parameter $f$, every operation invoked at a non-failing client terminates. We define the storage cost of a server in algorithm $A$ as the logarithm (to base 2) of number of states it can take on; the total-storage cost of algorithm $A$ is the sum of the storage cost of all servers. Our results are as follows. (i) We show that if algorithm $A$ does not use server gossip, then the total storage cost is lower bounded by $2 \frac{N}{N-f+1}\log_2|\mathcal{V}|-o(\log_2|\mathcal{V}|)$. (ii) The total storage cost is at least $2 \frac{N}{N-f+2} \log_{2}|\mathcal{V}|-o(\log_{2}|\mathcal{V}|)$ even if the algorithm uses server gossip. (iii) We consider algorithms where the write protocol sends information about the value in at most one phase. We show that the total storage cost is at least $ν^* \frac{N}{N-f+ν^*-1} \log_2( |\mathcal{V}|)- o(\log_2(|\mathcal{V}|),$ where $ν^*$ is the minimum of $f+1$ and the number of active write operations of an execution.

연구 동기 및 목표

• 이종적이고 장애 내성적인 분산 시스템에서 원자적 공유 메모리의 에뮬레이션을 위한 스토리지 비용에 대한 보편적이고 정보이론적인 하한을 설정하는 것.
• 특정 알고리즘적 구조(예: 복제 또는 에러 복구 인코딩)나 서버 간 소통의 사용을 가정하지 않고 스토리지 비용을 분석하는 것.
• 다양한 제약 조건(예: 쓰기 프로토콜의 단계 제한) 하에서 정확한 에뮬레이션을 위해 필요한 최소 스토리지 비용을 결정하는 것.
• 스토리지 비용이 알려진 상한 이하로 줄일 수 있는지 여부에 대한 근본적인 열린 질문을 해결하는 것.
• 이전의 하한을 개선하여 활성 쓰기 작업의 수와 N 및 f와 같은 시스템 파라미터를 고려한 것.

제안 방법

• 서버 스토리지 비용의 하한을 유도하기 위해 정보이론적 분석을 사용하며, 이는 각 서버의 가능한 상태 수의 로그로 정의된다.
• 코딩 이론에 영감을 받은 증명 기법을 적용하여 실행 추적을 구성하고, valency 논증과 모순 기반 하한을 도출한다.
• f개 이하의 서버 장애가 발생하는 공정한 실행을 고려하여, 실패하지 않은 클라이언트 작업이 모두 종료됨을 보장한다.
• 특정 구성이 반드시 valent이어야 한다는 새로운 실행 연장 논증을 도입하여, 낮은 스토리지 비용을 가정할 경우 모순을 이끌어낸다.
• 세 가지의 별개 알고리즘 클래스를 분석한다: 소통 없음, 소통 있음, 그리고 값에 따라 행동하는 통신 단계가 최대 한 번인 쓰기 프로토콜.
• 약한 규칙성과 값에 따라 행동하는 불변성을 활용하여 일관되게 저장할 수 있는 서로 다른 값의 수에 대한 하한을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 원자적 공유 메모리 에뮬레이션의 스토리지 비용이 $ \frac{N}{N-f}\log_2|\mathcal{V}| $ 이하일 수 있으며, 만약 그렇다면 얼마나 줄일 수 있는가?
• RQ2 장애 내성성과 이종성 조건 하에서 다중 쓰기자 단일 읽기자 공유 메모리의 에뮬레이션을 위해 필요한 최소 총 스토리지 비용은 무엇인가?
• RQ3 서버 간 소통의 유무가 스토리지 비용에 대한 이론적 하한에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 쓰기 프로토콜이 값에 따라 행동하는 통신 단계를 최대 한 번으로 제한할 경우의 스토리지 비용 하한은 무엇인가?
• RQ5 다중 단계의 값에 따라 행동하는 메시지를 전송하는 알고리즘(예: 바이진트 장애를 처리하는 알고리즘)을 고려할 때 하한을 일반화할 수 있는가?

주요 결과

• 첫 번째 하한은 서버 간 소통이 없을 경우 총 스토리지 비용이 최소 $ 2\frac{N}{N-f+1}\log_2|\mathcal{V}|-o(\log_2|\mathcal{V}|) $임을 보여주며, 이는 이전에 알려진 $ \frac{N}{N-f}\log_2|\mathcal{V}| $ 의 약 두 배이다.
• 서버 간 소통이 있더라도 총 스토리지 비용은 $ 2\frac{N}{N-f+2}\log_2|\mathcal{V}|-o(\log_2|\mathcal{V}|) $로 하한이 있으며, 이는 소통이 이론적 최소 스토리지 비용을 크게 줄이지 못함을 보여준다.
• 값에 따라 행동하는 통신 단계가 최대 한 번인 쓰기 프로토콜의 경우, 스토리지 비용은 $ \nu^*\frac{N}{N-f+\nu^*-1}\log_2|\mathcal{V}|-o(\log_2|\mathcal{V}|) $로 하한이 있으며, 여기서 $ \nu^* $ 는 $ f+1 $ 과 활성 쓰기 작업 수 중 최소값이다.
• 이 세 번째 하한은 첫 번째 두 번째 하한보다 크게 높으며, 대부분의 기존 에러 복구 인코딩 기반 공유 메모리 알고리즘에서 달성하는 스토리지 비용과 일치한다.
• 결과는 복제 기반 및 에러 복구 인코딩 기반 알고리즘 모두에 보편적으로 적용되며, 일반적인 단일 쓰기자 단일 읽기자 시스템을 포함한다.
• 논문은 하한이 다중 단계의 값에 따라 행동하는 메시지를 전송하는 알고리즘에도 적용될 수 있다고 추측한다. 유일하게 중요한 값 정보를 전달하는 단계가 하나일 경우, 예를 들어 바이진트 내성 시스템에서처럼 말이다.