[논문 리뷰] Information theory demonstration of the Richardson cascade

Rory Cerbus, W. I. Goldburg|arXiv (Cornell University)|2016. 02. 09.

Fluid Dynamics and Turbulent Flows참고 문헌 3인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 나비에-스토크스 방정식이나 코모고로프의 가정에 의존하지 않고 정보 이론—특히 조건부 엔트로피와 상호정보량을 사용하여 (준)2차원 난류에서 리처드슨의 소용돌이 붕괴 가설을 입증한다. 정보가 큰 소용돌이에서 작은 소용돌이로 흐르며, 비가역적 정보 전달로 인해 비정상성( intermittency)이 난류 흐름의 필수적 특성임을 확인한다.

ABSTRACT

Turbulence theory is usually concerned with the statistical moments of the velocity or its fluctuations. One could also analyze the implicit probability distributions. This is the purview of information theory. Here we use information theory, specifically the conditional entropy, to analyze (quasi-)2D turbulence. We recast Richardson's "eddy hypothesis" that large eddies break up into small eddies in time in the language of information theory. In addition to confirming Richardson's idea, we find that self-similarity and turbulent length scales reappear naturally. Not surprisingly, we also find that the direction of information transfer is the same as the direction of the cascade itself. Consequently, intermittency may be considered a necessary companion to all turbulent flows.

연구 동기 및 목표

• 전통적인 유체역학을 사용하지 않고 정보 이론을 활용하여 리처드슨의 소용돌이 가설—큰 소용돌이가 더 작은 소용돌이로 분해된다는 가설—을 검증하는 것.
• 난류에서 정보 전달 방향이 에너지 캐스케이드 방향과 일치하는지 확인하는 것.
• 자기유사성과 난류 길이 척도가 속도 변동의 정보 이론적 분석에서 자연스럽게 도출되는지 조사하는 것.
• 비정상성이 코모고로프 척도 가정과 무관하게 정보 전달로 인해 필수적인 결과로 나타나는지 평가하는 것.

제안 방법

• 큰 소용돌이 상태가 주어졌을 때의 작은 소용돌이 진화에 대한 불확실성을 측정하기 위해 조건부 엔트로피 H(Le|Sl)와 반대로 작은 소용돌이 상태가 주어졌을 때의 큰 소용돌이 진화에 대한 불확실성을 측정하기 위해 H(Sl|Le)를 사용한다.
• 정보 전달 방향을 탐지하기 위해 D(r) = H(Le|Sl) - H(Sl|Le)라는 지표를 정의하며, D(r) > 0일 경우 큰 스케일에서 작은 스케일으로의 캐스케이드를 의미한다.
• 2차원 soapy film 유동의 실험 데이터를 입자 영상 유속 측정법(PIV)을 사용하여 분석하여 다양한 척도 r에서 속도 차이 δu(r)를 추출한다.
• 정보 이론적 양을 계산하기 위해 확률 분포 p(δu(r))를 사용하며, 통계적 모멘트(Sₙ(r) 등)에 의존하지 않는다.
• 자기유사성을 검증하기 위해 D(r)를 특성 길이 척도 L로 정규화하고, 레이놀즈 수에 관계없이 곡선이 수렴함을 통해 척도 불변성을 확인한다.
• 큰 소용돌이와 작은 소용돌이 간의 공유 정보를 측정하기 위해 상호정보량 I(Sl;Le)를 사용하며, I(Sl;Le) > I(Ll;Se)는 순수하게 작은 스케일으로의 정보 흐름을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정보 이론은 나비에-스토크스 방정식이나 코모고로프 가정 없이도 리처드슨의 소용돌이 캐스케이드 가설을 검증할 수 있는 프레임워크를 제공하는가?
• RQ2 난류에서 정보 전달 방향은 큰 스케일에서 작은 스케일으로의 물리적 캐스케이드 방향과 일치하는가?
• RQ3 자기유사성과 난류 길이 척도는 속도 변동의 정보 이론적 분석에서 자연스럽게 도출되는가?
• RQ4 다양한 스케일 간의 상호정보량을 통해 정보가 비가역적으로 작은 스케일으로 흐른다는 것을 확인할 수 있는가, 이는 큰 스케일의 외부 힘이 완전히 忘却될 수 없다는 것을 의미하는가?
• RQ5 비가역적 정보 전달로 인해 비정상성은 모든 난류 캐스케이드의 필수적 특성인가?

주요 결과

• 모든 r에 대해 D(r) = H(Le|Sl) - H(Sl|Le) > 0임을 확인하여 큰 소용돌이가 통계적으로 더 작은 소용돌이로 진화함을 입증함으로써 리처드슨의 캐스케이드 가설을 검증한다.
• D(r)가 약 일정한 영역이 관측되며, 이는 코모고로프 이론에서의 일정한 에너지 흐름과 유사한 일정한 정보 흐름을 나타낸다.
• 특성 길이 척도 L로 정규화한 D(r) 곡선이 다양한 레이놀즈 수에서 수렴함을 확인하여 자기유사성과 난류 길이 척도의 도출을 입증한다.
• L을 초기 길이 척도 L₀로 나눈 비율이 레이놀즈 수가 증가함에 따라 감소함을 관측하여 흐름 강도에 따른 척도 의존성의 존재를 시사한다.
• 상호정보량 분석을 통해 I(Sl;Le) > I(Ll;Se)임을 확인하여 큰 스케일에서 작은 스케일로의 순수한 정보 흐름이 있음을 증명하며, 이는 큰 스케일의 외부 힘이 완전히 忘却될 수 없음을 의미한다.
• 비가역적 정보 전달은 비정상성이 모든 난류 캐스케이드의 필수적 특성임을 시사하며, 스케일 간의 완전한 통계적 독립성이 불가능하기 때문이다.