[논문 리뷰] Inhomogeneous Diophantine Approximation on $M_0$-sets with restricted denominators

Andrew Pollington, Sanju Velani외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 06. 04.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 16인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 제한된 분모를 가진 $M_0$-집합 위에서 정량적인 비균일 디오판틴스 추측 정리를 수립한다. 잠금 수열 $\mathcal{A} = (q_n)$ 과 푸리에 변환의 감쇠 조건 $|\widehat{\mu}(t)| \ll (\log|t|)^{-A}$ ($A > 2$) 를 만족하는 측도 $\mu$ 에 대해, 고정된 $\gamma$ 를 중심으로 하는 수축하는 구역 $B(\gamma, \psi(q_n))$ 에 수축하는 구간에 대해 $\mu$-거의 모든 $x$ 에서 $(q_n x \mod 1)$ 이 기대하는 횟수만큼 충돌함을 보여준다. 이 결과는 고전적인 균일 분포 이론을 수축하는 목표와 제한된 분모로 확장한다.

ABSTRACT

Let $F \subseteq [0,1]$ be a set that supports a probability measure $μ$ with the property that $ |\widehatμ(t)| \ll (\log |t|)^{-A}$ for some constant $ A > 0 $. Let $\mathcal{A}= (q_n)_{n\in \mathbb{N}} $ be a sequence of natural numbers. If $\mathcal{A}$ is lacunary and $A >2$, we establish a quantitative inhomogeneous Khintchine-type theorem in which (i) the points of interest are restricted to $F$ and (ii) the denominators of the `shifted' rationals are restricted to $\mathcal{A}$. The theorem can be viewed as a natural strengthening of the fact that the sequence $(q_nx { m \ mod \, } 1)_{n\in \mathbb{N}} $ is uniformly distributed for $μ$ almost all $x \in F$. Beyond lacunary, our main theorem implies the analogous quantitative result for sequences $\mathcal{A}$ for which the prime divisors are restricted to a finite set of $k$ primes and $A > 2k$.

연구 동기 및 목표

• 고전적인 비균일 디오판틴스 추측을 제한된 분모를 가진 $M_0$-집합으로 확장하기.
• 잠금 수열과 수축하는 목표에 대해 다벤포트–에르도시–레베크 정리의 정량적 형태를 수립하기.
• 측도 $\mu$ 의 푸리에 변환의 감쇠 속도를 결정하여, $\mu$-거의 모든 $x$ 에 대해 $ (q_n x \mod 1) $ 이 모듈로 1에서 균일 분포를 이룰 조건을 도출하기.
• 잠금 수열을 초월하여 $k$개의 소수로만 구성된 유한 집합의 소인수를 가진 수열으로 결과를 일반화하기, 이 경우 더 강한 감쇠 조건 $A > 2k$ 가 필요하다.

제안 방법

• 균일 분포의 조건을 푸리에 변환 $\widehat{\mu}(t)$ 의 감쇠 속도와 연결하기 위해 다벤포트–에르도시–레베크 기준을 사용하기.
• 균일 분포가 실패하는 집합을 기술하기 위해 $W^*$-집합의 $\mu$-측도를 적용하기.
• 고정된 $\gamma \in [0,1]$ 를 중심으로 하는 수축하는 구역 $B(\gamma, \psi(q_n))$ 를 모델링하기 위해 수축하는 목표 함수 $\psi(q_n)$ 를 도입하기.
• 수축하는 간격 내 충돌 횟수를 제어하기 위해 $s_n = q_n - q_{n-1}$ 과 부분합 $S_n$ 을 포함한 합계 추정을 사용하기.
• 수렴 조건을 유도하기 위해 $\sum s_n / S_n$ 과 $\sum s_n / S_n^2$ 에 대해 로그 및 조화 수열 유형의 부등식을 적용하기.
• 측도 $\mu$ 와 목표 크기 $\psi(q_n)$ 와 관련된 $(q_n x \mod 1)$ 의 이질성의 정량적 추정을 유도하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 측도 $\mu$ 의 푸리에 감쇠 조건이 무엇이면, $\mu$-거의 모든 $x \in F$ 에 대해 수열 $ (q_n x \mod 1) $ 이 모듈로 1에서 균일 분포를 이룰 수 있는가?
• RQ2 분모가 잠금 수열 $\mathcal{A}$ 로 제한될 경우, 고전적인 비균일 키친킨 정리가 수축하는 목표를 允허할 수 있도록 강화될 수 있는가?
• RQ3 수축하는 구역 $B(\gamma, \psi(q_n))$ 의 기대 충돌 빈도를 확보하기 위해 필요한 최소 감쇠 속도 $|\widehat{\mu}(t)| \ll (\log|t|)^{-A}$ 는 무엇인가?
• RQ4 결과는 잠금 수열을 초월하여 $k$개의 소수로만 구성된 유한 집합의 소인수를 가진 수열으로 어떻게 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 잠금 수열 $\mathcal{A}$ 와 $|\widehat{\mu}(t)| \ll (\log|t|)^{-A}$ ($A > 2$) 를 만족하는 $\mu$ 에 대해, $\mu$-거의 모든 $x \in F$ 에 대해 수열 $ (q_n x \mod 1) $ 이 수축하는 구역 $B(\gamma, \psi(q_n))$ 에 기대하는 횟수만큼 충돌한다.
• 이 결과는 $|\widehat{\mu}(t)| \ll (\log\log|t|)^{-(1+\epsilon)}$ 를 만족하는 어떤 $\epsilon > 0$ 에 대해, $\mu$-거의 모든 $x \in F$ 가 정규 수임을 시사한다.
• 소인수가 $k$개의 소수로만 제한된 수열 $\mathcal{A}$ 에 대해, 결과는 $A > 2k$ 라면 성립하며, 이는 잠금 수열을 초월하는 일반화를 가능하게 한다.
• 핵심 기술 도구는 $\tilde{S}_k = \max(\gamma, S_k)$ 를 사용한 합 $\sum_{k=a}^b \frac{s_k}{\tilde{S}_k}$ 의 경계이며, 이는 수축하는 목표에서의 이질성을 제어한다.
• 논문은 제한된 분모와 수축하는 목표에 대해 다벤포트–에르도시–레베크 정리의 정량적 형태를 수립하여 고전적 결과를 향상시켰다.
• 증명은 $\sum s_k / S_k$ 와 $\sum s_k / S_k^2$ 의 추정을 로그 및 조화 수열 유형의 부등식을 사용하여 수행하며, 이는 이질성 급수의 수렴을 이끈다.