[논문 리뷰] Inhomogeneous Hopf-Oleĭnik Lemma and Applications. Part IV: Sharp Krylov Boundary Gradient Type Estimates for Solutions to Fully Nonlinear Differential Inequalities with unbounded coefficients and $C^{1,Dini}$ boundary data

J. Ederson M. Braga, Diego Moreira외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 08. 08.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 35인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 유계가 아닌 계수와 $C^{1,Dini}$ 경계 데이터를 가진 완전 비선형 타원형 미분 부등식의 해에 대해 날카로운 Krylov 유형의 경계 기울기 추정을 수립한다. 비균일한 Hopf-Olełin 보조정리의 간소화된 증명을 도입하고, '리프시츠이면 $C^{1,\alpha}$' 접근법을 적용함으로써 경계에 근접한 기울기의 호일더 연속성을 도출하며, $q>n$ 인 $L^q$ 노름으로 계수와 데이터에 대해 $u/x_n$ 및 $ abla u$의 정량적 추정을 구한다. 이 결과들은 Krylov의 고전적 추정을 무한대 우항과 일반적인 비선형 연산자로 확장한다.

ABSTRACT

In this paper we provide another application of the Inhomogeneous Hopf-Ole\uınik Lemma (IHOL) proved in \cite{BM-IHOL-PartI} or \cite{Boyan-2}. As a matter of fact, we also provide a new and simpler proof of a slightly weaker version IHOL for the uniformly elliptic fully nonlinear case which is sufficient for most purposes. The paper has essentially two parts. In the first part, we use IHOL for unbounded RHS to develop a Caffarelli's "Lipschitz implies $C^{1,α}$" approach to prove Ladyzhenskaya-Uraltseva boundary gradient type estimates for functions in $S^{*}(γ, f)$ that vanishes on the boundary. Here, unbounded RHS means that $f\in L^{q}$ with $q>n$. This extends the celebrated Krylov's boundary gradient estimate proved in \cite{Krylov}. A Phragmén-Lindelöf classification result for solutions in half spaces is recovered from these estimates. Moreover, a Hölder estimate up to the boundary (in the half-ball) for $u(x)/x_{n}$ is obtained. In the second part, we extend the previous results for functions in $S^{*}(γ, σ, f)$ where $γ,f\in L^{q}$ with $q>n$ that have a $C^{1,Dini}$ boundary data on a $W^{2,q}$ domain. Here, we use an "improvement of flatness" strategy suited to the unbounded coefficients scenario. As a consequence of that, a quantitative version of IHOL under pointwise $C^{1,Dini}$ boundary regularity is obtained.

연구 동기 및 목표

• 유계가 아닌 $L^q$ 계수와 우항, $q>n$, 그리고 $C^{1,Dini}$ 경계 데이터를 가진 완전 비선형 타원형 부등식에 대해 Krylov의 고전적 경계 기울기 추정을 확장하는 것.
• 균일 타원형 완전 비선형 방정식에 대해 약간 더 약한 형태의 비균일 Hopf-Olełin 보조정리(IHOL)에 대한 새로운 간소화된 증명을 제공하여 주요 결과에 충분한 것.
• 무한대 계수 설정에서 '평탄함 향상' 전략을 활용하여 점별 $C^{1,Dini}$ 경계 정규성 조건 하에서 IHOL의 정량적 형태를 확립하는 것.
• 반구에서 $u(x)/x_n$에 대한 경계에 근접한 호일더 추정과 함께 Phragmén-Lindelöf 분류 결과를 회복하는 것.

제안 방법

• 해의 경계 행동을 제어하기 위해 정규화된 척도 불변 형태의 비균일 Hopf-Olełin 보조정리(IHOL)를 사용하는 것.
• L. Caffarelli의 자유 경계 이론에 영감을 받은 '리프시츠이면 $C^{1,\alpha}$' 전략을 경계 기울기 추정에 적응하여 적용하는 것.
• 무한대 우항을 가진 Pucci 극한 연산자에 대한 장벽를 구성하여 진동과 기울기 행동을 제어하는 것.
• 무한대 계수 설정에 맞게 조정된 '평탄함 향상' 기법을 활용하여 $\gamma,\sigma,f\in L^q$, $q>n$, 그리고 $C^{1,Dini}$ 경계 데이터 조건 하에서 $S^*(\gamma,\sigma,f)$ 내의 추정을 가능하게 하는 것.
• 이중 스케일 간의 $u/x_n$ 및 $ abla u$의 진동을 정규화하여 호일더 연속성을 도출하는 것.
• 기하적 추론과 조화함수 기울기 추정을 활용하여 선형 근사의 진동과 기울기의 호일더 반노름 간의 관계를 연결하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Krylov의 경계 기울기 추정은 $L^q$ 계수와 우항이 무한대이고 $q>n$, $C^{1,Dini}$ 경계 데이터를 가진 완전 비선형 방정식으로 확장될 수 있는가?
• RQ2 완전 비선형 케이스에서 경계 기울기 추정에 충분한, 비균일 Hopf-Olełin 보조정리의 간소화된 증명이 존재하는가?
• RQ3 경계 기울기 호일더 반노름이 계수와 데이터의 $L^q$ 노름에 대해 날카로운 정량적 의존성은 무엇인가?
• RQ4 무한대 계수를 가진 비선형 부등식에 대해 '리프시츠이면 $C^{1,\alpha}$' 전략은 어떻게 경계 추정에 적응시킬 수 있는가?
• RQ5 반공간에서의 Phragmén-Lindelöf 유형 분류 결과는 이 새로운 경계 기울기 추정으로부터 복원될 수 있는가?

주요 결과

• 날카로운 경계 기울기 추정이 확립되었다: $\text{osc}_{B_r^+} |\nabla u(x',0)| \leq C (r/R_0)^\alpha \left( \text{osc}_{B_{R_0}^+} (u/x_n) + \|f\|_{L^\infty(B_{R_0}^+)} \right)$, 이는 Krylov의 결과를 무한대 $f\in L^q$, $q>n$, 그리고 완전 비선형 연산자로 확장한다.
• 반구 $B_r^+$ 내에서 $u/x_n$의 진동은 $C (r/R_0)^\alpha \left( \text{osc}_{B_{R_0}^+} (u/x_n) + \|f\|_{L^q(B_{R_0}^+)} \right)$ 이하로 유계이며, 이는 $u/x_n$의 경계에 근접한 호일더 연속성을 암시한다.
• 점별 $C^{1,Dini}$ 경계 정규성 조건 하에서 IHOL의 정량적 형태를 확보하였으며, 기울기의 호일더 반노름은 $T + \omega(r_0/4)^{-1} \|A\|_{L^\infty}$ 로 제어된다.
• 기울기 $ abla u$ 는 지수 $\alpha$ 에 대해 경계에 근접하여 호일더 연속임이 입증되었으며, 호일더 반노름은 유일한 상수와 $T$ 및 Dini 모듈러스 $\omega$ 를 포함하는 항으로 유계이다.
• 반공간에서의 Phragmén-Lindelöf 분류 결과는 경계 기울기 추정의 결과로 복원된다.
• 주요 결과에 충분하고 이전의 [45, 46] 버전보다 더 단순한, 약간 더 약한 형태의 IHOL에 대한 새로운 기하학적이고 간단한 증명이 제시된다.