[논문 리뷰] Inhomogeneous Jacobi equation and Holographic subregion complexity

Avirup Ghosh, Rohit Mishra|arXiv (Cornell University)|2019. 07. 26.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 2인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 순수한 AdS₄ 위에 있는 강력한 블랙 브레인 편미분에 의해 변형된 경계 하위영역에 대응하는 최소 표면의 변형을 기술하는 비정상적 자코비 방정식을 푸는 방식으로, 점점 더 일반적인 AdS 공간에서의 홀로그래픽 하위영역 복잡도를 계산하기 위한 변분 방법을 개발한다. 이 방법은 스트립 및 디스크 형태의 영역에 대해 선형 차수의 체적 복잡도 변화를 제공하며, 핵심 결과로 3+1 차원에서 구형 하위영역의 선형 변화는 0이 된다.

ABSTRACT

We derive a general expression for obtaining Holographic subregion complexity for asymptotically $AdS$ spacetimes, pertubatively around pure $AdS$ using a variational technique. An essential step in finding subregion complexity is to identify the bulk minimal surface of the entangling subregion. Our method therefore heavily relies on solutions of an inhomogeneous version of Jacobi equation, used to study deformations of the entangling surface for perturbations of the bulk metric. Using this method we have obtained the change in complexity for a strip and a circular disk like subsystem for \emph{boosted} black brane like perturbations over pure $AdS_4$. As a corollary, we find that for spherical subsytems in $3+1$ dimensional bulk, the linear change of subregion complexity for \emph{boosted} black brane like perturbations over pure $AdS_4$ , vanishes.

연구 동기 및 목표

• 순수한 AdS를 초월하여 점점 더 일반적인 아스피모틱하게 AdS인 시공간에서 홀로그래픽 하위영역 복잡도를 계산하기 위한 일반적인 편미분 방법을 개발하는 것.
• 메트릭 편미분 하에서 경계 하위영역에 대응하는 부스러기 표면의 최소 표면을 식별하는 것. 이는 복잡도 계산에 필수적이다.
• 강력한 블랙 브레인 유사 편미분 하에서 특정 기하학적 형태—스트립 및 원형 디스크—에 대해 하위영역 복잡도의 선형 차수 변화를 유도하는 것.
• 3+1 차원 부스러기 시공간에서 구형 하위영역에 대해 이러한 편미분 하에서 하위영역 복잡도의 선형 변화가 0이 되는 것을 보여주는 것.
• 편미분된 중력 배경에서 표면 변형을 연구하기 위한 비균형 자코비 방정식 기반의 프레임워크를 구축하는 것.

제안 방법

• 이 방법은 경계 하위영역에 대응하는 최소 표면을 둘러싸는 부스러기 표면의 체적 변화를 계산하기 위해 변분 기법을 사용한다.
• 이것은 메트릭 편미분 하에서 엔트레인징 표면의 첫 번째 차수 변형을 기술하는 비균형 자코비 방정식을 푸는 데 의존한다.
• 유도 과정은 표면의 임bedding과 부스러기 메트릭 양쪽의 변화를 고려하며, 순수한 AdS₄를 중심으로 한 편미분 전개를 사용한다.
• 외부 곡률과 평균 곡률 벡터의 변화를 고려하며, 탄젠트 및 노멀 성분은 가우스 및 코다치 방정식을 통해 처리된다.
• 형식은 중력의 심플렉틱 구조와 경계 양자 상태 복잡도의 관계를 사용하며, 복잡도=체적 추측과 일치한다.
• 두 번째 차수 편미분과 표면 항을 다루기 위해 리만 텐서, 메트릭 변화, 접속 변화와 관련된 핵심 항등식을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비균형적인 부스러기 메트릭을 갖는 아스피모틱하게 AdS인 시공간에서 홀로그래픽 하위영역 복잡도를 어떻게 편미분적으로 계산할 수 있는가?
• RQ2 비균형 자코비 방정식은 메트릭 편미분 하에서 최소 표면의 변형을 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 강력한 블랙 브레인 유사 편미분 하에서 스트립 및 원형 디스크 형태의 경계 하위영역에 대해 하위영역 복잡도의 선형 변화는 어떻게 행동하는가?
• RQ4 왜 3+1 차원 부스러기 시공간에서 구형 하위영역에 대해 이러한 편미분 하에서 복잡도의 선형 변화가 0이 되는가?
• RQ5 외부 곡률과 평균 곡률 벡터의 탄젠트 성분 변화가 총 복잡도 변화에 어떤 기여를 하는가?

주요 결과

• 순수한 AdS₄ 위에 강력한 블랙 브레인 배경에서 스트립 형태의 하위영역에 대해 홀로그래픽 하위영역 복잡도의 선형 차수 변화는 비영이며, 비균형 자코비 방정식을 통해 계산 가능하다.
• 동일한 편미분 하에서 원형 디스크 형태의 하위영역에 대해서도 복잡도의 선형 변화는 비영이며, 동일한 변분 프레임워크를 사용해 도출된다.
• 이 방법은 표면 변형을 위한 비균형 자코비 방정식을 풀어 복잡도 변화를 성공적으로 계산하며, 체계적인 편미분 접근법을 제공한다.
• 3+1 차원 부스러기 시공간에서 구형 하위영역에 대해 강력한 블랙 브레인 유사 편미분 하에서 하위영역 복잡도의 선형 변화는 0이 되며, 이는 대칭성에 의해 보호된 상쇄를 나타낸다.
• 형식은 메트릭과 임베딩 변화를 모두 고려하며, 탄젠트 기여가 최종 비균형 자코비 방정식에 영향을 주지 않음을 보여주어 계산을 단순화한다.