[논문 리뷰] Initial and Boundary Value Problems for Fractional differential equations involving Atangana-Baleanu Derivative

Fatma Al-Musalhi. Nasser Al-Salti, Erkinjon Karimov|arXiv (Cornell University)|2017. 06. 01.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 8인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 라플라스 변환과 볼테라 적분방정식을 이용하여 아탕카나-바레안 수분수 도함수를 포함하는 초기값 문제(IvP)에 대한 명시적 해석적 해를 제시한다. 반복 근사법과 새로운 보조정리(해결핵 간소화)를 통해 닫힌 형태의 해를 유도하며, 이를 바탕으로 수직 고유함수의 급수 전개를 통해 경계값 문제를 해결한다.

ABSTRACT

Initial value problem involving Atangana-Baleanu derivative is considered. An Explicit solution of the given problem is obtained by reducing the differential equation to Volterra integral equation of second kind and by using Laplace transform. To find the solution of the Volterra equation, the successive approximation method is used and a lemma simplifying the resolvent kernel has been presented. The use of the given initial value problem is illustrated by considering a boundary value problem in which the solution is expressed in the form of series expansion using orthogonal basis obtained by separation of variables.

연구 동기 및 목표

• 아탕카나-바레안 분수수 도함수를 포함하는 초기값 문제(IvP)를 위한 해석적 해법을 개발한다.
• 분수수 미분방정식을 해석적으로 풀 수 있도록 제2종 볼테라 적분방정식으로 환원한다.
• 미타그레플레르 함수를 포함하는 새로운 보조정리를 통해 볼테라 방정식의 해결핵을 단순화한다.
• 분리변수법과 수직 기저 함수를 이용하여 유한 공간 영역에서의 경계값 문제(BvP)에 IVP 해를 효과적으로 적용한다.
• 원천항에 적절한 정규성 조건이 만족될 경우, BvP의 해 급수의 존재성과 균일 수렴성을 확립한다.

제안 방법

• 분수적 적분 정의를 이용해 아탕카나-바레안 IvP를 제2종 볼테라 적분방정식으로 변환한다.
• 변환된 방정식에 라플라스 변환을 적용하여 명시적 해 표현식을 도출한다.
• 반복 근사법을 통해 볼테라 적분방정식을 풀고 해결핵을 유도한다.
• 일반화된 미타그레플레르 함수 $ E^i_{eta,eta} $를 포함하는 해결핵을 단일 미타그레플레르 함수 항으로 단순화하는 새로운 보조정리를 도입한다.
• 분리변수법을 적용하고 시간에 의존하는 계수를 갖는 코사인 급수로 해를 전개함으로써 1차원 BvP에 IVP 해를 적용한다.
• 함수 $ \sin(k\pi x) $의 수직성 조건을 이용해 PDE를 각각 시간에 대한 분수수 ODE 시스템으로 환원하며, 이는 IVP 해법으로 해석 가능하다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 아탕카나-바레안 분수수 도함수를 포함하는 초기값 문제는 적분변환과 근사법을 통해 어떻게 명시적으로 해결할 수 있는가?
• RQ2 이러한 분수수 IvP로부터 유도된 볼테라 적분방정식의 해결핵은 어떤 구조를 가지며, 이를 단순화할 수 있는가?
• RQ3 IVP의 해석적 해는 유한 영역에서의 경계값 문제에 효과적으로 적용될 수 있는가?
• RQ4 BvP의 급수해는 어떤 조건에서 균일 수렴하며, 원천항에 어떤 정규성 가정이 필요하는가?
• RQ5 핵에 포함된 미타그레플레르 함수는 해의 행동과 안정성에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 라플라스 변환과 반복 근사법을 통해 아탕카나-바레안 IvP $ {}^{ABC}D^{eta}_0 u(t) - \lambda u(t) = f(t), \, u(0) = u_0 $ 에 대한 명시적 해가 도출되었다.
• 일반화된 미타그레플레르 함수를 포함하는 해결핵을 단일 미타그레플레르 함수 항으로 단순화하는 새로운 보조정리가 확립되었으며, 이는 계산 복잡도를 크게 감소시켰다.
• 1차원 공간 영역에서의 경계값 문제에 대해 IVP 해가 적용되었으며, 시간에 의존하는 계수를 갖는 코사인 급수 형태로 해가 표현되었다.
• 조건 $ f(x,0) = 0 $, $ f(0,t) = f(1,t) = 0 $, $ f_t(x,t) \in L^1[0,T] $, 및 $ f_x(x,t) \in L^2[0,1] $ 하에서 BvP의 급수해는 균일 수렴성을 보였다.
• 미타그레플레르 함수의 경계와 베셀 부등식을 이용해 $ u(x,t) $, $ u_{xx}(x,t) $, 및 $ {}^{ABC}D^{eta}_0 u(x,t) $ 의 균일 수렴성이 엄밀히 증명되었다.
• L^2(0,1)에서 $ \{ \sin(k\pi x) \} $ 체계의 완비성에 기반하여 해의 유일성이 증명되었다.