[논문 리뷰] Initial-boundary value problems for multi-term time-fractional diffusion equations with x-dependent coefficients

Zhiyuan Li, Xinchi Huang외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 02. 17.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 18인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 고유함수 전개와 미타그레플러 함수를 이용하여 x에 의존하는 계수를 가진 다항 시간 분수형 확산 방정식의 초기경계값 문제에 대한 해의 유일 존재성과 해석성을 확립한다. 해의 장기 감쇠 속도가 가장 낮은 차수의 분수형 도함수에 의해 지배됨을 증명하고, 이 해석성의 성질을 활용하여 단일 내부 점 관측 자료로부터 분수형 차수를 유일하게 결정함을 보였다.

ABSTRACT

In this paper, we discuss an initial-boundary value problem (IBVP) for the multi-term time-fractional diffusion equation with x-dependent coefficients. By means of the Mittag-Leffler functions and the eigenfunction expansion, we reduce the IBVP to an equivalent integral equation to show the unique existence and the analyticity of the solution for the equation. Especially, in the case where all the coefficients of the time-fractional derivatives are non-negative, by the Laplace and inversion Laplace transforms, it turns out that the decay rate of the solution for long time is dominated by the lowest order of the time-fractional derivatives. Finally, as an application of the analyticity of the solution, the uniqueness of an inverse problem in determining the fractional orders in the multi-term time-fractional diffusion equations from one interior point observation is established.

연구 동기 및 목표

• x에 의존하는 계수를 가진 다항 시간 분수형 확산 방정식의 초기경계값 문제(IBVP)의 잘 정의됨을 확립하기.
• 시간이 무한히 향할 때 해의 점근적 행동을 분석하며, 특히 가장 낮은 차수의 분수형 도함수에 의해 지배되는 감쇠 속도를 규명하기.
• 시간에 대한 해석성의 증명을 통해 역문제 연구가 가능하도록 하기.
• 단일 내부 점 관측 자료를 이용하여 다항 시간 분수형 확산 방정식의 분수형 차수에 대한 유일성을 확립하기.

제안 방법

• 공간 영역에서 고유함수 전개를 이용하여 IBVP를 등가의 적분방정식으로 환원하기.
• 분수형 도함수의 성질을 활용하여 시간에 의존하는 해의 표현에 미타그레플러 함수를 도입하기.
• 일반화된 그로워랄르 부등식과 고정점 방법을 적용하여 해의 유일 존재성과 해석성을 증명하기.
• 모든 계수가 음이 아닌 경우, 장기 점근적 행동을 분석하기 위해 라플라스 및 역라플라스 변환을 사용하기.
• 해석성의 성질을 활용하여 라플라스 변환과 모순에 기반한 증명을 통해 역문제에서의 유일성을 입증하기.
• 타원형 방정식의 정규성 이론과 소볼레프 포함을 활용하여 라플라스 도메인에서 s=0 근처의 해의 행동을 분석하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 x에 의존하는 계수를 가진 다항 시간 분수형 확산 방정식의 초기경계값 문제가 어떤 조건에서 유일한 해를 갖는가?
• RQ2 시간 분수형 도함수의 차수에 따라 해의 장기 감쇠 행동는 어떻게 달라지는가?
• RQ3 다항 시간 분수형 확산 방정식의 분수형 차수는 단일 내부 점 관측 자료로부터 유일하게 결정될 수 있는가?
• RQ4 시간 변수에 대한 해석성이 이러한 방정식의 역문제 해결에 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 x에 의존하는 계수의 존재는 일정 계수 사례와 비교해 해의 구조와 감쇠 성질에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• IBVP의 해는 고유함수 전개와 미타그레플러 함수를 통해 (0, ∞)에서 시간에 대해 해석적이며 유일하게 존재함을 입증함.
• 모든 시간 분수형 도함수 계수가 음이 아닌 경우, 해의 장기 감쇠 속도는 $ t^{-\beta} $로 지배되며, 여기서 $ \beta = \alpha_\ell $은 가장 작은 분수형 차수임.
• 시간 변수에 대한 해석성 덕분에 단일 내부 점 관측 자료로부터 분수형 차수 $ \alpha_1, \dots, \alpha_\ell $를 유일하게 결정할 수 있음.
• 라플라스 변환과 강한 최대원리에 기반한 모순 증명을 통해 서로 다른 분수형 차수는 서로 다른 점 관측 결과를 초래하므로, 유일성이 보장됨.
• 라플라스 도메인에서 $ s \to 0^+ $일 때 해는 유계이며, 변환된 해의 극한은 $ H^2(\Omega) $에서 영이 아닌 함수로 수렴함으로써 관측점에서의 비영 행동이 나타남.
• 이전의 일정 계수 사례 결과를 일반화하여 x에 의존하는 계수를 포함하고, 더 일반적인 조건 하에서 감쇠 속도와 유일성의 증명을 확장함.