[논문 리뷰] Injective envelopes and local multiplier algebras of C*-algebras

Michael Frank|ArXiv.org|1999. 10. 21.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 18인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 임의의 C*-대수 $ A $의 국소 승수 대수 $ M_{\text{loc}}(A) $가 $ A $의 임베딩이 일치하는 임베딩을 갖는 삽입 가능한 몰수 환 $ I(A) $에 *-동형으로 삽입될 수 있음을 증명한다. 핵심 결과는 $ A $가 가환일 때이고 뿐만 아니라 $ A $와 $ M_{\text{loc}}(A) $의 임베딩된 몰수 환은 항상 일치한다.

ABSTRACT

The local multiplier C*-algebra M_{loc}(A) of any C*-algebra A can *-isomorphicly embedded into the injective envelope I(A) of A in such a way that the canonical embeddings of A into both these C*-algebras are identified. If A is commutative then M_{loc}(A) = I(A) . The injective envelopes of A and M_{loc}(A) always coincide, and every higher order local multiplier C*-algebra of A is contained in the regular monotone completion \bar{A} in I(A) of A . In case the set Z(A).A is dense in A the center of the local multiplier C*-algebra of A is the local multiplier C*-algebra of the center of A, and both they are *-isomorphic to the injective envelope of the center of A . A Wittstock type extension theorem for completely bounded bimodule maps on operator bimodules taking values in M_{loc}(A) is proven to hold if and only if M_{loc}(A) = I(A). In general, a solution of the problem for which C*-algebras A the C*-algebras M_{loc}(A) is injective is shown to be equivalent to the solution of I. Kaplansky's 1951 problem whether all AW*-algebras are monotone complete.

연구 동기 및 목표

• 국소 승수 대수와 C*-대수의 임베딩된 몰수 환 사이의 구조적 관계를 조사한다.
• 국소 승수 대수 $ M_{\text{loc}}(A) $가 임베딩된 몰수 환 $ I(A) $와 일치하는 조건을 규명한다.
• 특히 $ Z(A)A $가 $ A $에서 조밀할 때, $ A $의 중심이 $ M_{\text{loc}}(A) $의 구조에서 차지하는 역할을 분석한다.
• 국소 승수 대수 $ M_{\text{loc}}(A) $가 임베딩 가능할 조건을 특성화하고, 카플란스키의 1951년 AW*-대수의 단조 완비성 문제와 연결한다.

제안 방법

• $ A $의 표준 임베딩이 일치하는 $ M_{\text{loc}}(A) $에서 $ I(A) $로의 *-동형을 구성한다.
• $ I(A) $ 내부의 임베딩된 몰수 환 이론과 정규 단조 완비화 이론을 활용하여 포함 관계를 분석한다.
• $ M_{\text{loc}}(A) $로의 완전히 유계진 이중모듈러 사상에 대한 유티스톡 유형 확장 정리를 적용하여, 이 정리가 $ M_{\text{loc}}(A) = I(A) $일 때에만 성립함을 보인다.
• $ A $의 중심을 통한 $ M_{\text{loc}}(A) $의 중심 분석을 통해, 조밀 조건 하에서 $ Z(M_{\text{loc}}(A)) \cong M_{\text{loc}}(Z(A)) $임을 증명한다.
• $ A $의 고차원 국소 승수 대수들이 항상 $ I(A) $ 내부의 정규 단조 완비화 $ \bar{A} $에 포함됨을 증명한다.
• $ M_{\text{loc}}(A) $의 임베딩 가능성 문제를 카플란스키의 1951년 AW*-대수의 단조 완비성 문제로 환원한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 국소 승수 대수 $ M_{\text{loc}}(A) $가 $ A $의 임베딩된 몰수 환 $ I(A) $와 *-동형일 조건은 무엇인가?
• RQ2 어떤 경우에 $ A $의 임베딩된 몰수 환과 $ M_{\text{loc}}(A) $의 임베딩된 몰수 환이 일치하는가?
• RQ3 특히 $ Z(A)A $가 $ A $에서 조밀할 때, $ M_{\text{loc}}(A) $의 중심과 $ A $의 중심의 국소 승수 대수 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ4 어떤 C*-대수 $ A $에 대해 $ M_{\text{loc}}(A) $가 임베딩 가능하며, 이는 카플란스키의 1951년 문제와 어떻게 관련되는가?
• RQ5 완전히 유계진 이중모듈러 사상에 대한 유티스톡 유형 확장 정리가 $ M_{\text{loc}}(A) = I(A) $일 때에만 성립하는가?

주요 결과

• 국소 승수 대수 $ M_{\text{loc}}(A) $는 $ A $의 표준 임베딩이 일치하는 방식으로 임베딩된 몰수 환 $ I(A) $에 *-동형으로 삽입될 수 있다.
• $ M_{\text{loc}}(A) = I(A) $는 $ A $가 가환일 때이고 뿐만 아니라 그와 동치이다.
• $ A $와 $ M_{\text{loc}}(A) $의 임베딩된 몰수 환은 항상 서로 동형이다.
• $ A $의 모든 고차원 국소 승수 대수들은 $ I(A) $ 내부의 정규 단조 완비화 $ \bar{A} $에 포함된다.
• 특히 $ Z(A)A $가 $ A $에서 조밀할 경우, $ M_{\text{loc}}(A) $의 중심은 $ M_{\text{loc}}(Z(A)) $와 *-동형이며, 둘 다 $ I(Z(A)) $와 *-동형이다.
• 완전히 유계진 이중모듈러 사상에 대한 유티스톡 유형 확장 정리는 $ M_{\text{loc}}(A) = I(A) $일 때에만 성립한다.