[논문 리뷰] Injectivity almost everywhere and mappings with finite distortion in nonlinear elasticity

Anastasia Molchanova, S. K. Vodopyanov|arXiv (Cornell University)|2017. 04. 26.

Analytic and geometric function theory참고 문헌 34인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 비선형 탄성에서 유한 변형을 갖는 약한 미분 가능성을 가진 사상이 거의 어디서나 단사임을 보장하는 조건을 설정한다. 이는 유한한 끌림 연산자와 다항볼록 에너지 함수의 유계성을 활용하여 이루어지며, 주요 결과는 적절한 강제성과 변형 한계 조건 하에서 에너지 함수의 최소화자가 위상동형사상임을 보여주어 물질의 상호관통을 방지한다.

ABSTRACT

We show that a sufficient condition for the weak limit of a sequence of $W^1_q$-homeomorphisms with finite distortion to be almost everywhere injective for $q \geq n-1$, can be stated by means of composition operators. Applying this result, we study nonlinear elasticity problems with respect to these new classes of mappings. Furthermore, we impose loose growth conditions on the stored-energy function for the class of $W^1_n$-homeomorphisms with finite distortion and integrable inner as well as outer distortion coefficients.

연구 동기 및 목표

• 비선형 탄성에서 유한 변형을 갖는 약한 미분 가능성을 가진 사상이 거의 어디서나 단사임을 확립하기 위해.
• 전역적 역함수 존재를 사전에 가정하지 않고 발랄의 존재 이론을 에너지 최소화 변형으로 확장하기 위해.
• 역변형이 솔레브 공간에 속함을 보장하는 조건을 특성화하기 위해.
• 끌림 연산자 $\varphi^*: L^1_p(\Omega') \to L^1_q(\Omega)$의 유계성과 단사성 및 유한 변형 성질 간의 연관성을 맺기 위해.
• 기하적 조건(준등거리 경계)과 저장 에너지 함수에 대한 분석적 조건을 융합하여 단사성을 특성화하기 위해.

제안 방법

• 저장 에너지 함수 $W(x,F)$의 다항볼록성을 활용하여 에너지 함수의 순차적 약한 하방 해석성을 보장한다.
• $|F|^p$, $|\operatorname{Adj}F|^q$, $|\det F|^r$, $|\det F|^{-m}$를 포함하는 강제성 부등식을 적용하여 야생행렬식이 0에 가까워질 경우의 붕괴를 통제한다.
• 유한 변형 조건을 도입: $K_O(x,\varphi) = \frac{|D\varphi(x)|^3}{J(x,\varphi)} \leq K(x) < \infty$ a.e., 이는 열화된 변형을 방지한다.
• 끌림 연산자 $\varphi^*: L^1_p(\Omega') \to L^1_q(\Omega)$의 유계성을 단사성에 대한 핵심 분석 도구로 설정한다.
• $\mathbb{R}^3$에서 준등거리 경계와 리프시츠 경계 간의 동치성을 활용하여 기하학적 정규성을 확보한다.
• 위트니 유형의 확장 정리와 내재 거리 제어를 활용하여 도메인의 기하학적 성질과 역변형의 솔레브 정규성 간의 관계를 규명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 저장 에너지 함수 $W$와 변형 계수 $K_O$에 대해 어떤 조건이 약한 미분 가능성을 가진 변형 $\varphi$가 거의 어디서나 단사임을 보장하는가?
• RQ2 끌림 연산자 $\varphi^*: L^1_p(\Omega') \to L^1_q(\Omega)$의 유계성이 $\varphi$의 단사성에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ3 도메인 $\Omega$와 경계 $\partial\Omega$에 대해 어떤 기하학적 및 분석적 조건이 변형의 역함수가 $W^1_\sigma(\Omega')$에 속함을 보장하는가?
• RQ4 강제성 조건 $W(x,F) \geq \alpha(|F|^p + \operatorname{Adj}F|^q + |\det F|^r + |\det F|^{-m}) + g(x)$가 유한 변형과 함께 단사성을 보장할 수 있는가?
• RQ5 준등거리 경계는 유계 확장 연산자의 존재와 변형의 단사성과 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• 에너지 함수 $I(\varphi) = \int_\Omega W(x,D\varphi)\,dx$를 최소화하는 변형 $\varphi$는 $W$가 조건 (6)을 만족하고 $p>3$, $q>3$, $r>1$, $m>\frac{2q}{q-3}$, $\sigma = \frac{q(1+m)}{q+m} > 3$일 경우 $\Omega$에서 $\varphi(\Omega)$로의 위상동형사상이다.
• 역함수 $\varphi^{-1}$는 $\overline{\Omega'}$에서 $W^1_\sigma$에 속하며 $\sigma > 3$이므로 역함수 사상의 충분한 정규성을 보장한다.
• 유한 변형은 $K_O(x,\varphi) = \frac{|D\varphi(x)|^3}{J(x,\varphi)} < \infty$ a.e.로 특성화되며, 이는 부피 요소의 변형을 통제하는 데 필수적이다.
• 끌림 연산자 $\varphi^*: L^1_p(\Omega') \to L^1_q(\Omega)$의 유계성은 모든 $u \in W^1_p(\Omega')$에 대해 $\|\varphi^*u\|_{W^{1}_q(\Omega)} \leq C\|u\|_{W^1_p(\Omega')}$ 를 만족하는 상수 $C$의 존재와 동치이다.
• 준등거리 경계 사상은 국소적으로 이중 리프시츠이며, 준등거리 경계를 갖는 도메인은 $\mathbb{R}^3$에서 리프시츠 경계를 갖는 도메인과 동치이다.
• 내재 거리 $d_{\varphi(B)}(u,v)$는 유클리드 거리 $|u-v|$와 비교 가능하며, 이는 유계 확장 연산자의 존재를 보장하고 단사성 결과를 뒷받침한다.