[논문 리뷰] Inner-Approximating Reachable Sets for Polynomial Systems with Time-Varying Uncertainties

Xue Bai, Martin Fränzle외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 11. 02.

Advanced Optimization Algorithms Research참고 문헌 40인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 시간에 따라 변하는 불확실성을 갖는 다항식 시스템에 대해 후행 가능 영역의 내부 근사값을 계산하기 위한 볼록 최적화 방법을 제안한다. 후행 가능 영역을 해밀토니안-자비 방정식의 점성 해의 0 이하 수준 집합으로 공식화함으로써, 단일 정준형 프로그래밍을 통해 다항식 점성 초해를 합성하고, 적절한 가정 하에 측도 측면에서 가능 영역의 내부로 수렴함을 보장한다.

ABSTRACT

In this paper we propose a convex programming based method to address a long-standing problem of inner-approximating backward reachable sets of state-constrained polynomial systems subject to time-varying uncertainties. The backward reachable set is a set of states, from which all trajectories starting will surely enter a target region at the end of a given time horizon without violating a set of state constraints in spite of the actions of uncertainties. It is equal to the zero sub-level set of the unique Lipschitz viscosity solution to a Hamilton-Jacobi partial differential equation (HJE). We show that inner-approximations of the backward reachable set can be formed by zero sub-level sets of its viscosity super-solutions. Consequently, we reduce the inner-approximation problem to a problem of synthesizing polynomial viscosity super-solutions to this HJE. Such a polynomial solution in our method is synthesized by solving a single semi-definite program. We also prove that polynomial solutions to the formulated semi-definite program exist and can produce a convergent sequence of inner-approximations to the interior of the backward reachable set in measure under appropriate assumptions. This is the main contribution of this work. Several illustrative examples demonstrate the merits of our approach.

연구 동기 및 목표

• 시간에 따라 변하는 불확실성을 갖는 상태 제약 다항식 시스템에서 안전한 내부 근사값을 계산하는 데 도전 과제를 해결하기 위해.
• 메모리 및 확장성 문제로 고차원 시스템에서 자주 실패하는 격자 기반 수치 방법의 한계를 극복하기 위해.
• 후행 가능 영역의 내부로 수렴하는 내부 근사값을 생성하는 실용적이고 볼록 프로그래밍 기반의 방법을 제공하기 위해.
• 제안된 정준형 프로그래밍에 대한 다항식 해의 존재성과 수렴성에 대한 이론적 보장을 확립하기 위해.
• 伝통적인 격자 기반 해석기에서 계산 불가능성으로 인해 실패하는 예제들에서 이 방법의 효과성을 입증하기 위해.

제안 방법

• 후행 가능 영역는 해밀토니안-자비 편미분방정식(HJE)의 고유한 리프시츠 점성 해의 0 이하 수준 집합으로 특성화된다.
• 내부 근사값은 HJE의 점성 초해의 0 이하 수준 집합을 사용하여 구성되며, 이는 다항식 함수이다.
• HJE와 상태 제약 조건에서 유도된 제약 조건을 갖는 단일 정준형 프로그래밍(SDP)이 제안된다.
• 이 SDP는 볼록이며 표준 솔버를 사용하여 해석 가능하므로 내부 근사값의 효율적 계산이 가능하다.
• 점성 해의 리프시츠 연속성과 잘 정의된 성질을 보장하기 위해 키르슈브라운의 확장 정리를 활용한다.
• 적절한 가정 하에 측도 측면에서 내부 근사값이 후행 가능 영역의 내부로 수렴함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시간에 따라 변하는 불확실성을 갖는 다항식 시스템에 대해 볼록 최적화를 이용해 수렴하는 내부 근사값을 계산할 수 있는가?
• RQ2 비볼록적인 HJE 기반 가능 영역 문제를 볼록 정준형 프로그래밍으로 어떻게 변환할 수 있는가?
• RQ3 이 맥락에서 다항식 초해의 존재성과 수렴성에 대해 어떤 이론적 보장을 제공할 수 있는가?
• RQ4 어떤 상황에서 이 방법이 전통적인 격자 기반 또는 시뮬레이션 기반 접근법보다 뛰어나게 작용하는가?
• RQ5 근사 다항식의 차수는 내부 근사값의 정확도와 수렴성에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 제안된 방법은 단일 정준형 프로그래밍을 통해 내부 근사값을 계산하여 중간 차원 이상의 시스템에 대해 효율적이고 확장 가능한 계산을 가능하게 한다.
• 제안된 정준형 프로그래밍의 해는 존재하며, 측도 측면에서 후행 가능 영역의 내부로 수렴하는 내부 근사값의 수열을 생성한다.
• 예제 3의 경우, 격자 기반 해석기에서 메모리 제약으로 인해 실패한 상황에서도 이 방법이 성공적으로 내부 근사값을 계산하였다.
• 다항식의 차수를 높일수록 시뮬레이션 기반 추정치와의 비교를 통해 정확도가 향상됨을 확인하였다.
• 특히 상태 변수가 네 개를 초과하는 시스템에서는 이 방법이 전통적인 격자 기반 접근법보다 계산 가능성이 뛰어나다.
• DSOS 및 SDSOS와 같은 템플릿 다항식의 사용은 계산 효율성과 확장성 향상에 기여한다.