[논문 리뷰] Input-to-State Stability for the Control of Stefan Problem with Respect to Heat Loss

Shumon Koga, Iasson Karafyllis외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 03. 03.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 28인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 비선형 역백스테핑 제어 법칙을 사용하여 이동 경계 또는 고체 경계에서의 알 수 없는 열손실에 대해 일상적 및 이상적 스티프란 문제의 입력-상태 안정성(ISS)을 수립한다. 폐쇄형 시스템이 외부 교란 하에서 $L_2$ 노름에서 안정됨을 증명하며, 리아푸노프 기반 분석과 파르코르에 유형 부등식을 통해 명시적인 ISS 추정치를 도출한다.

ABSTRACT

This paper develops an input-to-state stability (ISS) analysis of the Stefan problem with respect to an unknown heat loss. The Stefan problem represents a liquid-solid phase change phenomenon which describes the time evolution of a material's temperature profile and the liquid-solid interface position. First, we introduce the one-phase Stefan problem with a heat loss at the interface by modeling the dynamics of the liquid temperature and the interface position. We focus on the closed-loop system under the control law proposed in [16] that is designed to stabilize the interface position at a desired position for the one-phase Stefan problem without the heat loss. The problem is modeled by a 1-D diffusion Partial Differential Equation (PDE) defined on a time-varying spatial domain described by an ordinary differential equation (ODE) with a time-varying disturbance. The well-posedness and some positivity conditions of the closed-loop system are proved based on an open-loop analysis. The closed-loop system with the designed control law satisfies an estimate of {L}_2 norm in a sense of ISS with respect to the unknown heat loss. The similar manner is employed to the two-phase Stefan problem with the heat loss at the boundary of the solid phase under the control law proposed in [25], from which we deduce an analogous result for ISS analysis.

연구 동기 및 목표

• 이동 경계 또는 경계에서의 알 수 없는 열손실 하에서 폐쇄형 스티프란 시스템의 강인성 분석.
• 기존의 스티프란 문제에 대한 역백스테핑 제어 설계를 확장하여 입력-상태 안정성(ISS)을 통한 교란 제거 기능을 포함.
• 열손실이 있는 조건 하에서 일상적 및 이상적 스티프란 문제에 대한 잘 정의된 문제 조건 및 모델 타당성 조건 수립.
• 열손실 교란에 대해 온도 및 경계 운동의 $L_2$ 노름에서 명시적인 ISS 추정치 도출.
• 표본 열손실 수준이 다양한 아연 스트립 모델에 대한 수치 시뮬레이션을 통해 이론적 결과 검증.

제안 방법

• 일상적 스티프란 문제에 대해 비선형 역백스테핑 변환을 사용하여 [16]의 방법과 유사하게 상태 피드백 제어 법칙 설계, $H^1$ 노름에서의 지수적 안정성 확보.
• 리아푸노프 기반 접근법을 적용하여 ISS 추정치 도출, 시스템 상태를 위한 에너지 유사 기능 $V_1$, $V_2$, $V_3$ 구성.
• 파르코르에, 코시-슈바르츠, 얀의, 아그몬의 부등식을 사용하여 리아푸노프 기능의 시간 도함수를 유계화하고 미분 부등식 유도.
• 다음 형태의 ISS 추정치 도출: $\sqrt{V(t)} \leq M_1 e^{-\alpha t} \sqrt{V(0)} + M_2 \sup_{\tau \in [0,t]} |q_f(\tau)|$, 이는 알 수 없는 열손실 하에서도 상태의 유계성을 증명.
• 이중상 스티프란 문제에 대해 고체 경계에서의 열손실을 고려하여 [25]의 제어 법칙을 적용하고, 유사한 리아푸노프 및 부등식 기법을 사용하여 분석 확장.
• 표본 열손실 수준에 따라 물리적 매개변수 표 1을 기반으로 경계 이동 방식과 유한 차분 반할산점화 기법을 사용하여 이론적 결과 수치적으로 검증.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일상적 스티프란 문제에서 경계에서 알 수 없는 열손실이 존재할 경우, [16]의 역백스테핑 제어 법칙 하에서 입력-상태 안정성(ISS)을 유지할 수 있는가?
• RQ2 열손실 존재 시 일상적 스티프란 문제에서 경계 위치 및 온도 분포의 안정성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 열손실이 고체 경계에 존재하는 이중상 스티프란 문제에 대해 ISS 프레임워크를 확장할 수 있는가?
• RQ4 열손실 존재 하에서 잘 정의된 문제 조건 및 모델 타당성 조건(예: 온도 및 경계 위치의 양성)을 위한 충분한 조건는 무엇인가?
• RQ5 열손실의 크기가 경계의 추적 오차 및 목표 설정점으로의 수렴 속도에 어느 정도 영향을 미치는가?

주요 결과

• 열손실이 있는 일상적 스티프란 문제의 폐쇄형 시스템은 $L_2$ 노름에서 ISS 추정치를 만족하며, 상태 노름이 지수적으로 감쇠하는 항과 열손실의 상한값에 비례하는 항의 합으로 유계화됨.
• ISS 추정치는 $\sqrt{V_2(t)} \leq \sqrt{V_2(0)} e^{-\frac{\alpha_s}{16L^2}t} + \frac{4L\sqrt{2L}}{k_s} \sup_{\tau \in [0,t]} |q_f(\tau)|$ 형태로 도출되어 알 수 없는 교란에 대한 강인성을 보여줌.
• 수치 시뮬레이션은 경계가 목표값 $s_r = 0.35$ m로 수렴하며, $\bar{q}_f$ 증가에 따라 정적 오차가 증가함을 확인하여 ISS 결과와 일치함.
• 제어기는 경계 온도 $T(0,t) > T_m$의 양성 유지하고 $0 < s(t) < s_r$ 보장하여 모델 타당성 조건 검증함.
• 이중상 스티프란 문제에 대해서도 동일한 ISS 프레임워크를 [25]의 제어 법칙을 사용하여 확장하여 유사한 안정성 추정치 도출함.
• 표본 값 $\bar{q}_f = 1.0 \times 10^3$, $5.0 \times 10^3$, 및 $10.0 \times 10^3$ W/m²에 대한 시뮬레이션 결과는 열손실이 클수록 경계 오차가 증가함을 보여주며, 이는 ISS 경계와 일치함.