[논문 리뷰] Input-to-state stability of distributed parameter systems

Andrii Mironchenko|arXiv (Cornell University)|2023. 02. 01.

Stability and Controllability of Differential Equations인용 수 4

한 줄 요약

이 후보자학위논문은 립시안 방법, 소형-이득 정리, 적분 ISS 기준을 사용하여 분포 매개변수 시스템, 즉 비선형 및 경계 제어를 갖는 편미분방정식(PDE)에서 입력-상태 안정성(ISS)에 대한 종합적인 프레임워크를 수립한다. 선형 및 비선형 시스템에 대한 역-리아푸노프 정리, 열 방정식 및 쿠라모토-시바시نك 방정식과 같은 핵심 방정식의 ISS 증명, 무한한 상호연결에 대한 비강성 리아푸노프 함수 및 소형-이득 조건을 개발한다.

ABSTRACT

Input-to-state stability (ISS) allows estimating the impact of inputs and initial conditions on both the intermediate values and the asymptotic bound on the solutions. ISS has unified the input-output and Lyapunov stability theories and is a crucial property in the stability theory of control systems as well as for many applications whose dynamics depend on parameters, unknown perturbations, or other inputs. In this habilitation thesis, we provide a broad picture of infinite-dimensional input-to-state stability theory.

연구 동기 및 목표

• 편미분방정식(PDE)에 의해 지배되는 무한차원 시스템에 대한 입력-상태 안정성(ISS)의 체계적 이론을 개발하는 것.
• 유계가 아닌 입력 연산자를 갖는 선형 및 비선형 진화방정식에 대한 역-리아푸노프 정리를 수립하는 것.
• 소형-이득 기법을 사용하여 경계 제어 시스템과 공간적으로 분포된 상호연결으로의 ISS 분석을 확장하는 것.
• 적분 ISS를 특성화하고 비선형 포아르바닉 및 고차 PDE에 대한 리아푸노프 기반 기준을 개발하는 것.
• 점성 버거스 방정식 및 쿠라모토-시바시نك 방정식과 같은 특정 방정식에 대한 엄밀한 안정성 조건을 제공하는 것.

제안 방법

• 비강성 리아푸노프 함수와 소산형태를 사용하여 비선형 시스템에 대한 ISS 기준을 유도한다.
• 밀도 추론 및 온화한 해 이론을 적용하여 진화방정식에서 유계가 아닌 입력 연산자를 다룬다.
• 스펙트럼 분석 및 고유함수 전개를 사용하여 소볼레프 공간과 L^p 노름 사이의 부등식을 증명한다.
• 무한한 상호연결된 ISS 시스템에 대해 최대형 및 합형 소형-이득 정리를 수립한다.
• 아그몬 및 파oin카레 유형의 부등식을 적용하여 상태 노름을 유계화하고 안정성 조건을 도출한다.
• 비교 함수와 디니 도함수를 사용하여 안정성 특성과 수렴 속도를 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분포 또는 경계 입력을 갖는 비선형 포아르바닉 시스템이 어떤 조건에서 입력-상태 안정성(ISS)을 갖는가?
• RQ2 유계가 아닌 입력 연산자를 갖는 선형 및 비선형 분포 매개변수 시스템에 대해 역-리아푸노프 정리를 수립할 수 있는가?
• RQ3 비선형 이득을 갖는 분포 매개변수 시스템의 무한한 상호연결에 대해 소형-이득 정리를 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ4 비선형 포아르바닉 시스템이 소볼레프 공간과 L^p 공간에서 적분 ISS를 보장하는 데 어떤 리아푸노프 함수의 구조가 필요한가?
• RQ5 미분 연산자의 스펙트럼 성질이 ISS 리아푸노프 함수의 존재성과 형태에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 비선형 시스템에 대해 역-리아푸노프 정리를 수립하여, ISS는 비강성 ISS 리아푸노프 함수의 존재를 암시함을 보였다.
• 디리클레 경계 입력을 갖는 열 방정식은 H^1-노름 기반 리아푸노프 함수를 사용하여 ISS임을 보였다.
• 쿠라모토-시바시نك 방정식의 경우, 부등식 ∫x_zz² - λ∫x_z² ≥ σ(λ)∫x²를 사용한 리아푸노프 함수를 구성하였으며, 여기서 σ(λ)는 엄격히 감소하고 σ(4π²)=0임을 만족한다.
• 무한한 상호연결된 ISS 시스템에 대해 최대형 소형-이득 정리를 증명하여, 균일한 소형-이득 조건 하에 지수적 ISS를 보장함을 입증하였다.
• 입력 연산자가 유계인 선형 시스템은 ISS 리아푸노프 함수를 갖는다. 이는 특정 연산자에 대해 P = -A⁻¹인 경우도 포함된다.
• 대각선 시스템의 경우, 고유값에 대한 스펙트럼 조건을 통해 ISS를 특성화하고, 명시적인 리아푸노프 함수를 구성하였다.