[논문 리뷰] Input-to-state stability of infinite-dimensional systems: recent results and open questions

Andrii Mironchenko, Christophe Prieur|arXiv (Cornell University)|2019. 10. 03.

Stability and Controllability of Differential Equations인용 수 4

한 줄 요약

이 종합적 서베이는 무한차원 시스템에 대한 입력-상태 안정성(ISS)에 대한 포괄적인 개요를 제공하며, 외부 교란과 초기 조건에 대한 강건성 분석을 위해 라플라스 및 입력-출력 방법을 통합한다. 선형 및 비선형 PDE, 경계 제어 시스템, 시간 지연 시스템, 상호연결된 네트워크에 대한 기초 이론을 수립하며, 라플라스 함수와 소-게인 정리 등을 통해 안정성 분석 및 제어 설계 도구를 제공한다.

ABSTRACT

In a pedagogical but exhaustive manner, this survey reviews the main results on input-to-state stability (ISS) for infinite-dimensional systems. This property allows estimating the impact of inputs and initial conditions on both the intermediate values and the asymptotic bound on the solutions. ISS has unified the input-output and Lyapunov stability theories and is a crucial property in the stability theory of control systems as well as for many applications whose dynamics depend on parameters, unknown perturbations, or other inputs. In this paper, starting from classic results for nonlinear ordinary differential equations, we motivate the study of ISS property for distributed parameter systems. Then fundamental properties are given, as an ISS superposition theorem and characterizations of (global and local) ISS in terms of Lyapunov functions. We explain in detail the functional-analytic approach to ISS theory of linear systems with unbounded input operators, with special attention devoted to ISS theory of boundary control systems. The Lyapunov method is shown to be very useful for both linear and nonlinear models, including parabolic and hyperbolic partial differential equations. Next, we show the efficiency of the ISS framework to study the stability of large-scale networks, coupled either via the boundary or via the interior of the spatial domain. ISS methodology allows reducing the stability analysis of complex networks, by considering the stability properties of its components and the interconnection structure between the subsystems. An extra section is devoted to ISS theory of time-delay systems with the emphasis on techniques, which are particularly suited for this class of systems. Finally, numerous applications are considered in this survey, where ISS properties play a crucial role in their study. This survey suggests many open problems throughout the paper.

연구 동기 및 목표

• ISS를 중심 프레임워크로 삼아 무한차원 시스템에 대한 라플라스 및 입력-출력 안정성 이론을 통합한다.
• 유한차원 상미분방정식(ODE)에서의 ISS 이론을 PDE와 시간 지연 방정식으로 지배되는 분포 매개변수 시스템으로 확장한다.
• 경계 입력 연산자가 무한대일 수 있는 선형 및 비선형 PDE 시스템의 안정성 분석을 위한 라플라스 기반 방법을 개발하고 체계화한다.
• 소-게인 정리를 사용하여 경계나 내부에서 연결된 PDE 네트워크와 같은 상호연결된 시스템에 대해 ISS를 적용한다.
• 특히 경계 제어 및 시간 지연 시스템에서 무한차원 시스템에 대한 ISS 이론의 열린 문제를 식별하고 강조한다.

제안 방법

• ISS 초위상 정리를 활용하여, 외부 입력이 없을 경우의 전역 점근적 안정성과 입력이 존재할 경우의 전역 흡인성 조합으로서 ISS를 특성화한다.
• 특히 경계 제어 설정에서 입력 연산자가 무한대일 수 있는 선형 시스템에 대해 ISS를 입증하기 위해 라플라스 함수를 적용한다.
• 함수해석 기법을 사용하여 힐버트 공간 및 바나흐 공간에서의 진화 방정식의 잘 정의됨과 안정성 문제를 연구한다.
• 비선형 소-게인 정리를 적용하여 대규모 무한차원 시스템 네트워크의 안정성 분석을 수행한다.
• 특수한 라플라스-크라소브스키 함수 및 지연 의존 분석을 사용하여 시간 지연 시스템에 대해 ISS 이론을 적응한다.
• PDE에 대한 불확실성을 고려한 백스텝핑 및 피드백 재설계와 같은 강건 제어 방법과 ISS를 통합한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 입력 연산자가 무한대일 수 있는 시스템에 대해, 특히 라플라스 함수를 사용하여 어떻게 ISS를 특성화할 수 있는가?
• RQ2 선형 및 비선형 PDE 시스템, 특히 포아송형 및 하이퍼볼릭 방정식에 대해 ISS의 필요 및 충분 조건은 무엇인가?
• RQ3 경계나 내부에서 연결된 PDE 네트워크와 같이 상호연결된 무한차원 시스템의 안정성 분석에 어떻게 ISS를 적용할 수 있는가?
• RQ4 경계 제어 시스템 및 시간 지연 시스템으로의 ISS 이론 확장 과정에서의 주요 과제와 열린 문제들은 무엇인가?
• RQ5 분포 매개변수 시스템의 맥락에서, ISS는 어떻게 유한차원 안정성 개념을 통합하고 일반화하는가?

주요 결과

• ISS는 부드러운 ISS 라플라스 함수의 존재성과 동치이며, 마스에라 및 쿠르츠베일의 고전 정리를 입력이 있는 시스템으로 일반화한다.
• ISS 초위상 정리는 외부 입력이 없을 경우의 전역 점근적 안정성과 입력 존재 시의 전역 흡인성 조합으로서 ISS를 특성화한다.
• 입력 연산자가 무한대일 수 있는 선형 시스템의 경우, 생성자에 대한 스펙트럼 성질과 기능 해석 기법을 사용하여 ISS를 분석할 수 있다.
• 경계 제어 시스템은 입력 연산자가 무한대임을 고려한 라플라스 기반 기법을 통해 ISS임을 입증할 수 있다.
• 비선형 소-게인 정리는 구성 요소별로 ISS 성질과 상호연결의 구조를 조합함으로써 대규모 네트워크의 안정성 분석을 가능하게 한다.
• 지연 의존 역학에 맞는 특화된 ISS 프레임워크를 사용하면 시간 지연 시스템을 효과적으로 분석할 수 있으며, 라플라스-크라소브스키 함수는 안정성에 대한 충분 조건을 제공한다.