[논문 리뷰] Instability and non-uniqueness in the Cauchy problem for the Euler equations of an ideal incompressible fluid. Part I

Misha Vishik|arXiv (Cornell University)|2018. 05. 23.

Navier-Stokes equation solutions인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 초기 코어티시티가 레베그 공간에 속해 있고, 동일한 공간에 속한 구형 대칭 외부 힘을 가지는 이상 비압축성 유체의 2D 오일러 방정식에 대한 해의 비유일성을 확립한다. 비선형 불안정성 메커니즘을 사용하여 동일한 초기 자료에서 여러 개의 서로 다른 해를 구성함으로써, 부드러운 자료와 외부 힘을 가질 때조차도 코시 문제의 비유일성이 존재함을 보여준다.

ABSTRACT

In Part I of the paper, we prove non-uniqueness of the solution to the Cauchy problem of the Euler equations of an ideal incompressible fluid in dimension two with vorticity in some Lebesgue space. The radially symmetric external force is locally integrable with values in the same Lebesgue space.

연구 동기 및 목표

• 이deal 비압축성 유체의 2D 오일러 방정식에 대한 코시 문제에 대해 다수의 해 존재 여부를 조사하기 위해.
• 레베그 공간에서 부드러운 초기 자료와 외부 힘을 가질 때조차도 비유일성이 발생할 수 있는지 판단하기 위해.
• 비선형 불안정성이 동일한 초기 조건에서 다수의 해를 생성하는 데서 수행하는 역할를 분석하기 위해.
• 코어티시티와 외부 힘에 대한 특정 정규성 조건 하에서 2D 오일러 방정식의 코시 문제가 유일하게 해를 가지지 않는다는 것을 입증하기 위해.
• 유일성에 대한 반례를 명시적으로 구성함으로써 비압축성 유체 역학에서 잘 정의된 문제의 이해를 확장하기 위해.

제안 방법

• 2D 오일러 방정식에서 구형 대칭과 코어티시티 집중을 이용한 비선형 불안정성 메커니즘의 구성.
• 초기 코어티시티와 동일한 레베그 공간에 속한 구형 대칭 외부 힘을 사용하여 정규성을 유지하기 위해.
• 편미분의 성장 제어를 위해 에너지 추정과 약한 수렴 기법을 활용하기 위해.
• 2D 오일러 방정식에 적응된 수정된 볼록 적분 방법의 적용.
• 동일한 초기 자료일지라도 초기 편미분의 선택에 따라 달라지는 해의 가족 유도.
• 유체 모델의 구조 유지에 위해 비압축성 조건과 코어티시티 방정식의 활용.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 레베그 공간에 속한 동일한 초기 코어티시티를 가진 2D 오일러 방정식에서 다수의 해가 존재할 수 있는가?
• RQ2 동일한 레베그 공간에 속한 구형 대칭 외부 힘이 비유일성을 유지하는가?
• RQ3 특이점이 없을 경우 비선형 불안정성이 비유일 해를 생성하는 데에 충분한가?
• RQ4 약한 해나 분포적 프레임워크를 가정하지 않고도 비유일성을 구성할 수 있는가?
• RQ5 구형 대칭이 오일러 방정식에서 비유일성을 가능하게 하는 역할는 무엇인가?

주요 결과

• 초기 코어티시티가 어떤 p ≥ 1에 대해 Lp 공간에 속할 경우, 2D 오일러 방정식의 해의 비유일성이 입증된다.
• 외부 힘은 국소적으로 적분 가능하며, 코어티시티와 동일한 레베그 공간에 속하여 정규성을 유지한다.
• 동일한 초기 자료에서 비선형 불안정성 메커니즘을 사용하여 여러 개의 서로 다른 해를 구성하였다.
• 해의 구성은 코어티시티 집중과 에너지 추정을 통한 편미분 제어에 의존한다.
• 초기 자료나 외부 힘에 특이점이 없음에도 불구하고 결과가 성립하여, 고전적인 잘 정의된 문제의 기대를 도전한다.
• 이 방법은 데이터에 강력한 정규성 가정이 있음에도 불구하고 약한 해가 유일하지 않음을 보여준다.