[논문 리뷰] Instability of bound states of a nonlinear Schr\"odinger equation with a Dirac potential

Stefan Le Coz, Reika Fukuizumi외 3명|arXiv (Cornell University)|2007. 07. 17.

Advanced Mathematical Physics Problems참고 문헌 52인용 수 97

한 줄 요약

이 논문은 비선형 슈뢰딩거 방정식에 딜라크 델타 포텐셜을 갖는 정상파 해의 안정성을 분석하며, 섭동 이론과 연속성 추론을 사용하여 선형화된 연산자의 음의 고유값 수를 계산한다. 반발력이 있는 결함(γ < 0)의 경우, 비선형성이 초임계 이하일 때, 반지름 대칭 유계 상태는 H1_rad(R)에서는 안정적이지만 H1(R)에서는 불안정하다. 이 불안정성은 유한한 폭의 수축 또는 횡방향 이동으로 나타나며, 임계 또는 초임계 비선형성의 경우 에너지 보존 법칙과 비르발 정리에 의해 폭발이 발생함을 증명한다.

ABSTRACT

We study analytically and numerically the stability of the standing waves for a nonlinear Schr\"odinger equation with a point defect and a power type nonlinearity. A main difficulty is to compute the number of negative eigenvalues of the linearized operator around the standing waves, and it is overcome by a perturbation method and continuation arguments. Among others, in the case of a repulsive defect, we show that the standing wave solution is stable in $\hurad$ and unstable in $\hu$ under subcritical nonlinearity. Further we investigate the nature of instability: under critical or supercritical nonlinear interaction, we prove the instability by blowup in the repulsive case by showing a virial theorem and using a minimization method involving two constraints. In the subcritical radial case, unstable bound states cannot collapse, but rather narrow down until they reach the stable regime (a {\em finite-width instability}). In the non-radial repulsive case, all bound states are unstable, and the instability is manifested by a lateral drift away from the defect, sometimes in combination with a finite-width instability or a blowup instability.

연구 동기 및 목표

• 점 결함이 딜라크 델타 포텐셜로 모델링된 비선형 슈뢰딩거 방정식의 정상파 해의 안정성을 분석하는 것.
• 정상파 해 주위의 선형화된 연산자의 음의 고유값 수를 계산하는 데 있어 도전 과제를 해결하기 위해 섭동 이론과 연속성 기법을 사용하는 것.
• 비선형성(초임계, 임계, 초임계)과 결함 유형(흡인성 또는 반발성)에 따라 불안정성의 성격(폭발, 유한한 폭의 수축, 횡방향 이동)을 분류하는 것.
• 비원형 및 운동량 보존이 이루어지지 않는 외란 하에서의 유계 상태 역학을 체계적으로 수치적·해석적으로 기술하는 것.

제안 방법

• 정상파 해 주위의 선형화된 연산자의 모어스 지수(음의 고유값 수)를 결정하기 위해 섭동 방법과 연속성 추론을 사용하는 것.
• 임계 또는 초임계 비선형성의 경우 반발성 케이스(γ < 0)에서 폭발 불안정성을 증명하기 위해 비르발 정리와 이중 제약 조건을 갖는 최소화 방법을 사용하는 것.
• 유한한 폭의 수축, 횡방향 이동 또는 폭발과 같은 불안정성 유형을 분류하기 위해 정량적 수치적 접근을 적용하는 것.
• δ(x)에 대해 H^{-1} 노름에서 수렴하는 정규화된 포텐셜 V_a(x) = γa e^{-πa^2 x^2}의 수열을 통해 근사 해를 구성하고, 원래 방정식의 해로 수렴함을 증명하는 것.
• 가가르도-니레베르그 부등식과 에너지/전하 보존 법칙을 사용하여 H^1 노름을 제어하고 근사 수열의 균일한 유계성을 확립하는 것.
• 시간에 따른 두 번째 모멘트 ∫ x^2 |u|^2 dx 의 진화를 분석하여 비르발 항등식을 유도하고 폭발 행동을 탐지하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 반지름 대칭 및 비반지름 외란 하에서, 델타 함수 포텐셜을 갖는 비선형 슈뢰딩거 방정식의 정상파 해는 어떤 안정성을 가지는가?
• RQ2 델타 포텐셜의 부호와 강도(흡인성 γ > 0 또는 반발성 γ < 0)는 유계 상태의 안정성과 역학에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 폭발, 유한한 폭의 수축 또는 횡방향 이동을 유도하는 메커니즘은 무엇이며, 어떤 조건에서 발생하는가?
• RQ4 이러한 매끄럽지 않은 포텐셜에 대해 선형화된 연산자의 음의 고유값 수를 해석적으로 어떻게 계산할 수 있는가?

주요 결과

• 반발성 결함(γ < 0)의 경우, 비선형성이 초임계 이하일 때(1 < p < 5), 정상파는 H^1_rad(R)에서는 안정적이지만 H^1(R)에서는 불안정하다.
• 초임계 반지름 대칭 케이스에서 불안정한 유계 상태는 붕괴하지 않지만, 유한한 폭으로 수축함을 보이며, 이는 유한한 폭 불안정성 메커니즘을 시사한다.
• 비반지름 반발성 케이스에서는 모든 유계 상태가 불안정하며, 주로 결함에서 멀어지는 횡방향 이동에 의해 이끌리며, 때로는 유한한 폭 수축 또는 폭발과 함께 발생한다.
• 임계 또는 초임계 비선형성(p ≥ 5)의 경우, 비르발 정리와 이중 제약 최소화 방법을 통해 반발성 케이스에서의 불안정성이 폭발 유형임을 증명한다.
• 기본 상태 ϕω,γ(x)에 대한 명시적 공식이 유도되었으며, γ < 0일 경우 "∨" 형태의 프로파일, γ > 0일 경우 "∧" 형태의 프로파일을 보이며, 폭과 진폭은 ω에 의해 제어됨을 보여준다.
• 정규화된 포텐셜 V_a를 사용한 근사 방법은 C([0,T], H^1(R))에서 원래 델타 포텐셜 방정식의 해로 강한 수렴을 보이며, 한계 근사의 타당성을 보장한다.