[논문 리뷰] Instability of oscillations in the Rosenzweig-MacArthur model of one consumer and two resources

P. Gawroński, Alfio Borzı̀외 1명|arXiv (Cornell University)|2022. 05. 24.

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models참고 문헌 27인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 소비자 한 마리와 자원 두 개로 구성된 Rosenzweig-MacArthur 모델을 동적 자원 전환을 통해 연구하며, 소비율 β₁ 및 β₂(β₁ + β₂ = 1)의 유 end 시간 스케일 최적화를 통해 분석한다. 소비자의 비율 조정을 C의 수익 증가에 비례하게 모델링함으로써, β₁ = β₂ = 0.5에서의 진동적 공존이 불안정하며, 선호도가 형성된 후 효과적인 전환이 불가능한 소비자의 특성으로 인해 한 자원이 억압되는 안정된 고정점으로 시스템이 이동함을 보여준다.

ABSTRACT

The system of two resources $R_1$, $R_2$ and one consumer $C$ is investigated within the Rosenzweig-MacArthur model with Holling type II functional response. The rates $\beta_i$ of consumption of resources $i=1,2$ are coupled by the condition $\beta_1+\beta_2=1$. The dynamic switching is introduced by a maximization of $C$: $d\beta_1/dt=(1/ au) dC/d\beta_1$, where the characteristic time $ au$ is large but finite. The space of parameters where both resources coexist is explored numerically. The results indicate that oscillations of $C$ and mutually synchronized $R_i$ which appear at $\beta_i=0.5$ are destabilized for $\beta_i$ larger or smaller. Then, the system is driven to one of fixed points where either $\beta_1>0.5$ and $R_1<R_2$ or the opposite. This behaviour is explained as an inability of the consumer to change the preferred resource, once it is chosen.

연구 동기 및 목표

• 동적 소비자 전환 조건 하에서 이중 자원, 한 소비자 시스템의 진동적 공존 안정성 조사.
• 소비자의 자원 이용 비율 조정을 즉각적인 것이 아니라 연속적이고 유한한 시간 스케일 최적화 과정으로 모델링.
• β₁ 조정의 시간 스케일 τ가 시스템 역학 및 장기적 결과에 미치는 영향 분석.
• 소비자가 시간이 지남에 따라 소비 전략을 적응시킬 경우, β₁ = β₂ = 0.5에서의 진동적 공존이 여전히 안정적인지 여부 확인.

제안 방법

• Holling Type II 기능 반응 및 자원 제한 항을 포함한 Rosenzweig-MacArthur 모델 수립.
• 시간 제한된 번식 노력 표현을 위해 β₁ + β₂ = 1 제약 조건 도입.
• C의 성장률 기반으로 점진적 소비율 최적화를 모델링하기 위해 동적 방정식 dβ₁/dt = (1/τ) · ∂C/∂β₁ 도입.
• 각 시간 단계에서 유한 차분을 통해 ∂C/∂β₁를 수치적으로 계산하기 위해 전진 감도 분석 사용.
• C, R₁, R₂, β₁ 및 감도 변수 z₁, z₂, z₃로 구성된 7개의 비선형 상미분 방정식 조합을 4차 룬게-쿠타 방법으로 해석.
• 수치적 연속성과 파rameter 스윕을 통해 α₁₁, τ, 초기 β₁의 매개변수 공간 탐색.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 소비자가 소비 비율을 시간에 따라 동적으로 조정할 경우, β₁ = β₂ = 0.5에서의 진동적 공존이 여전히 안정적인가?
• RQ2 비율 조정의 유한한 시간 스케일 τ가 소비자-자원 시스템의 한계 순환 안정성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 β₁이 시간이 지남에 따라 변화할 때, 최종 결과로 진동적 공존 또는 안정적 자원 억압 중 무엇이 결정되는가?
• RQ4 한 자원이 더 풍부한데도 시스템이 자원 간 전환을 실패하는 이유는 무엇이며, 이는 β₁의 역학과 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• β₁이 동적으로 진화할 경우, 조그만 τ조차도 β₁ = β₂ = 0.5에서의 진동적 공존이 불안정함을 보여줌.
• 유한한 τ가 존재할 경우, 시스템은 진동 행동(단계 A)에서 한 자원이 억압되는 안정 고정점(단계 G)으로 진화함.
• τ가 충분히 작을 경우에만 고정점에 도달하며, 초기 β₁에 관계없이 β₁는 약 0.15로 수렴함.
• 동적 β₁ 진화 하에서 β₁ = 0.5의 고정점은 정적 경우 C(β₁)의 국소 최대값임에도 불구하고 불안정함.
• τ → ∞(정적 β₁)일 경우, β₁ = 0.5의 고정점은 불안정하며, 안정한 한계 순환은 β₁ = 0.47 및 0.53 근처의 좁은 범위에서만 존재함.
• τ가 유한하고 작을 경우, 시스템은 단계 B(진동적, 비대칭 β₁)에서 단계 G(안정 고정점)로 전이되며, 한 자원이 멸종됨.