[논문 리뷰] Instanton counting in Class $\mathcal{S}_k$

Thomas Bourton, Elli Pomoni|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 01.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 78인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 Dp/D(p-4) D-brane 시스템을 이용한 orbifolding을 통해 4차원 N=1 초등방형장이론의 순간자(partition) 함수를 계산하고, T² orbifold를 감싸는 K D1-brane 위에서 2차원 초등방형지수를 계산한다. 5차원 및 4차원 극한을 도출하고, k=1일 때 기존의 Nekrasov 분할 함수를 확인하며, 클래스 Sk 내의 SU(N) 퀘리 이론이 쿨롱 모듈리와 질량에 대해 오르비폴드 조건을 적용함으로써 SU(kN) 어머니 이론으로부터 유도됨을 규명한다.

ABSTRACT

We compute the instanton partition functions of $\mathcal{N}=1$ SCFTs in class $\mathcal{S}_k$. We obtain this result via orbifolding Dp/D(p-4) brane systems and calculating the partition function of the supersymmetric gauge theory on the worldvolume of $K$ D(p-4) branes. Starting with D5/D1 setups probing a $\mathbb{Z}_\ell imes \mathbb{Z}_k$ orbifold singularity we obtain the $K$ instanton partition functions of 6d $(1,0)$ theories on $\mathbb{R}^4 imes T^2$ in the presence of orbifold defects on $T^2$ via computing the 2d superconformal index of the worldvolume theory on $K$ D1 branes wrapping the $T^2$. We then reduce our results to the 5d and to the 4d instanton partition functions. For $k=1$ we check that we reproduce the known elliptic, trigonometric and rational Nekrasov partition functions. Finally, we show that the instanton partition functions of $SU(N)$ quivers in class $\mathcal{S}_k$ can be obtained from the class $\mathcal{S}$ mother theory partition functions with $SU(kN)$ gauge factors via imposing the `orbifold condition' $a_{\mathcal{A}} ightarrow a_A e^{2πi j/k}$ with $\mathcal{A}=jA$ and $A=1,\dots, N$, $j=1,\dots, k$ on the Coulomb moduli and the mass parameters.

연구 동기 및 목표

• 4차원 N=1 초등방형장이론의 클래스 Sk에 대한 순간자 분할 함수를 계산하기 위해.
• 오르비폴드된 T²를 감싸는 D1-brane 위에서 초등방형지수를 계산함으로써 클래스 Sk 이론에 대한 2차원/4차원 대응을 수립하기 위해.
• 6차원 업라이프트로부터 5차원 및 4차원 극한을 도출하기 위해.
• 오르비폴드 투영을 통해 제안된 AGTk 대응관계와 클래스 Sk 및 클래스 S 어머니 이론 간의 관계를 검증하기 위해.
• 클래스 Sk 내의 SU(N) 퀘리 이론이 쿨롱 모듈리와 질량에 대해 오르비폴드 조건을 적용함으로써 SU(kN) 게이지 이론으로부터 유도됨을 보여주기 위해.

제안 방법

• 형식 IIB 초현실 이론 내의 D3-brane 시스템을 Zℓ×Zk 오르비폴딩으로 통해 클래스 Sk 이론을 설계하기 위해.
• T dual을 적용하여 D3-brane 시스템을 오르비폴드된 T² 위의 D5-brane 시스템으로 매핑함으로써, 6차원 (1,0) 이론을 실현하고, 이론의 순간자 분할 함수를 2차원 초등방형지수를 통해 계산하기 위해.
• 오르비폴드된 단일 문자 지수와 펠리스티크 지수화를 사용하여, T²를 감싸는 K D1-brane의 세계체 이론의 2차원 초등방형지수를 계산하기 위해.
• 6차원 지수에 대해 q→1 및 β₅→0로 취하는 5차원 및 4차원 극한을 적용하여 5차원 및 4차원 순간자 분할 함수를 도출하기 위해.
• 쿨롱 모듈리와 질량에 대해 aA → aA e^{2πij/k}를 적용함으로써 오르비폴드 조건을 유도하고, 이를 통해 SU(kN) 어머니 이론이 클래스 Sk 내의 SU(N) 퀘리 이론으로 매핑됨을 보여주기 위해.
• 5차원 및 4차원 분할 함수를 적분 경로 표현을 통해 표현하고, 부록 B.1–B.4에서 하이퍼볼릭 sine 함수와 유리함수 형태의 명시적 표현을 유도하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 4차원 N=1 클래스 Sk 초등방형장이론의 순간자 분할 함수는 어떻게 초현실 이론 구조로부터 계산될 수 있는가?
• RQ2 오르비폴드된 T²를 감싸는 D1-brane 위에서의 2차원 초등방형지수는 어떻게 클래스 Sk 이론의 6차원 업라이프트를 계산하는 데 기여하는가?
• RQ3 6차원 순간자 분할 함수의 5차원 및 4차원 극한은 기존의 N=2* 및 N=2 퀘리 이론 결과를 어떻게 재현하는가?
• RQ4 클래스 Sk 내의 SU(N) 퀘리 이론으로의 SU(kN) 어머니 이론 매핑을 위한 정확한 오르비폴드 조건은 무엇인가?
• RQ5 직접적인 순간자 분할 함수 계산을 통해 제안된 AGTk 대응관계를 검증할 수 있는가?

주요 결과

• 클래스 Sk의 6차원 순간자 분할 함수는 Zℓ×Zk 오르비폴드 배경에서 T²를 감싸는 K D1-brane 위에서의 2차원 초등방형지수를 통해 계산된다.
• k=1일 경우, 4차원 극한은 기존의 유리함수, 삼각함수, 타원형 Nekrasov 분할 함수를 재현하여 기존 결과와의 일致를 확인한다.
• 오르비폴드된 분할 함수의 5차원 극한은 기존의 5차원 N=2* 분할 함수와 일치하여 5차원 업라이프트 절차의 타당성을 검증한다.
• 클래스 Sk 내의 SU(N) 퀘리 이론의 4차원 순간자 분할 함수는 쿨롱 모듈리와 질량에 대해 오르비폴드 조건 aA → aA e^{2πij/k}를 적용함으로써 SU(kN) 어머니 이론으로부터 도출된다.
• 5차원 및 4차원 분할 함수의 적분 경로 표현이 명시적으로 도출되었으며, 부록 B.1–B.4에서 하이퍼볼릭 sine 함수와 유리함수 형태의 전체 표현이 제공된다.
• 계산은 클래스 Sk에 대한 2차원/4차원 대응을 확립하며, 오르비폴드된 초등방형지수를 통해 4차원/2차원 dualities를 N=1 이론으로 일반화한다.