[논문 리뷰] Instanton counting via affine Lie algebras I: Equivariant J-functions of (affine) flag manifolds and Whittaker vectors

Alexander Braverman|ArXiv.org|2004. 01. 29.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 9인용 수 54

한 줄 요약

이 논문은 게이지 이론의 순간자 수세기와 아핀 리 대수의 표현 이론을 통합하는 생성함수 ${\mathcal{Z}}_{G,P}^{{\operatorname{aff}}}$를 제안한다. $P=G$인 경우 이 함수는 네크라소프의 분할 함수로 줄어들고, $P$가 보렐 부분군인 경우는 랑글랜즈 쌍대 아핀 리 대수 $\check{\mathfrak{g}}_{{\operatorname{aff}}}$의 보편 벨라 모듈러에서의 윌리암슨 행렬 계수와 일치한다. 이는 순간자 수세기와 아핀 토다 체계, 플래그 다양체의 양자 코hom로지 사이의 연결고리가 된다.

ABSTRACT

For a semi-simple simply connected algebraic group G we introduce certain parabolic analogues of the Nekrasov partition function (introduced by Nekrasov and studied recently by Nekrasov-Okounkov and Nakajima-Yoshioka for G=SL(n)). These functions count (roughly speaking) principal G-bundles on the projective plane with a trivialization at infinity and with a parabolic structure at the horizontal line. When the above parabolic subgroup is a Borel subgroup we show that the corresponding partition function is basically equal to the Whittaker matrix coefficient in the universal Verma module over certain affine Lie algebra - namely, the one whose root system is dual to that of the affinization of Lie(G). We explain how one can think about this result as the affine analogue of the results of Givental and Kim about Gromov-Witten invariants (more precisely, equivariant J-functions) of flag manifolds. Thus the main result of the paper may considered as the computation of the equivariant J-function of the affine flag manifold associated with G (in particular, we reprove the corresponding results for the usual flag manifolds) via the corresponding "Langlands dual" affine Lie algebra. As the main tool we use the algebro-geometric version of the Uhlenbeck space introduced by Finkelberg, Gaitsgory and the author. The connection of these results with the Seiberg-Witten prepotential will be treated in a subsequent publication.

연구 동기 및 목표

• Uhlenbeck-형으로 압축된 순간자 모듈리 공간 위에서의 $G$-_bundle에 대한 프레임 구조와 $P$-구조를 가진 $\mathbb{P}^2$ 위에서의 등급화된 J-함수를 통해 네크라소프의 분할 함수를 임의의 부분군 $P \subset G$로 일반화하는 것.
• 보렐 부분군인 경우 $P$에 대해 ${\mathcal{Z}}_{G,P}^{{\operatorname{aff}}}$의 渐近적 행동과 $\check{\mathfrak{g}}_{{\operatorname{aff}}}$의 벨라 모듈러에서의 윌리암슨 행렬 계수 사이의 정확한 대응관계를 확립하는 것.
• 그래프 공간과 $\mathbb{C}^*$-등급화 적분을 이용하여 등급화된 양자 코hom로지를 계산하기 위한 새로운 대수기하학적 프레임워크를 제공하는 것.
• 모든 게이지 군 $G$에 대해 시브르그-위튼 전위함수 추측을 증명하기 위한 기초를 마련하기 위해 ${\mathcal{Z}}_{G,P}^{{\operatorname{aff}}}$를 아핀 토다 체계와 연결하는 것.

제안 방법

• 모듈리 공간의 Uhlenbeck-형으로 압축된 $\mathbb{P}^2$ 위에서의 $G$-bundle에 대해, 무한선에서의 $P$-구조를 가진 프레임 $G$-bundle의 단위 함수에 대한 등급화된 적분으로 생성함수 ${\mathcal{Z}}_{G,P}^{{\operatorname{aff}}}$를 정의한다.
• 대수기하학을 이용하여 $\mathbb{P}^2$ 위의 $G$-bundle의 모듈리 공간 $\operatorname{Bun}_{G,P}$를 정의한다. 이는 무한점에서의 자명화와 수평선에서의 $P$-축소를 포함한다.
• 그래프 공간 $\operatorname{Graph}^\beta_{G,P}$ 위에서의 $\mathbb{C}^*$-등급화 국소화를 적용한다. 이는 $\mathbb{P}^1$ 위에서 ${\mathcal{G}}_{G,P} \times \mathbb{P}^1$로의 차수 $\beta$의 안정적 매핑을 매개한다.
• $\mathbb{C}^*$-작용의 고정점과 모듈리 공간들의 곱 $\overline{\mathcal{M}}^{\beta_1}_{0,1}(G,P) \times \overline{\mathcal{M}}^{\beta_2}_{0,1}(G,P)$ 사이의 이sovorphism을 이용하여 적분을 성분들의 합으로 줄인다.
• 법선다발 계산을 통해 그래프 공간 위의 적분을 기반 모듈리 공간 위의 적분으로 표현하며, 등급화된 매개변수 $\hbar$와 코호몰로지 클래스 $c_\beta$를 포함한 인자로 나타낸다.
• 기반 그래프 공간 ${}^\text{b}\operatorname{Graph}^\beta_{G,P}$에서 기반 Quot 스킴 ${}^\text{b}\mathcal{QM}^\beta_{G,P}$로의 $M$-등급화된 비유리 사상이 존재함을 증명하여 두 공간의 등급화된 적분이 동일함을 보였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 순간자 모듈리 공간이 $\mathbb{P}^2$ 위에 있는 경우, 네크라소프의 분할 함수를 부분군 $P \subset G$의 구조를 포함하도록 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 보렐 부분군인 경우 ${\mathcal{Z}}_{G,P}^{{\operatorname{aff}}}$의 정확한 대수기하학적 해석은 무엇이며, 표현 이론과의 관계는 어떠한가?
• RQ3 그래프 공간 기법을 통해 생성함수 ${\mathcal{Z}}_{G,P}^{{\operatorname{aff}}}$를 이용하여 아핀 플래그 다양체의 등급화된 양자 코hom로지를 계산할 수 있는가?
• RQ4 보편 벨라 모듈러에서의 윌리암슨 벡터는 ${\mathcal{Z}}_{G,P}^{{\operatorname{aff}}}$의 渐近적 행동으로부터 어떻게 유도되는가?
• RQ5 이 프레임워크를 통해 임의의 $G$에 대해 시브르그-위튼 전위함수 추측을 증명할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 $P=G$인 경우 생성함수 ${\mathcal{Z}}_{G,G}^{{\operatorname{aff}}}$는 네크라소프의 분할 함수와 일치하며, $G=SL(n)$일 때 기존 결과를 복원한다.
• 보렐 부분군인 경우 ${\mathcal{Z}}_{G,P}^{{\operatorname{aff}}}$는 랑글랜즈 쌍도 아핀 리 대수 $\check{\mathfrak{g}}_{{\operatorname{aff}}}$의 보편 벨라 모듈러에서의 윌리암슨 행렬 계수와 같다.
• 기반 그래프 공간 ${}^\text{b}\operatorname{Graph}^\beta_{G,P}$ 위에서의 단위 함수 적분은 기반 Quot 스킴 ${}^\text{b}\mathcal{QM}^\beta_{G,P}$ 위의 적분과 동일하다. 이는 적절한 비유리 $M$-등급화 사상 덕분이다.
• 기반 그래프 공간 ${}^\text{b}\operatorname{Graph}^\beta_{G,P}$ 위의 등급화된 적분은 $\int_{{}^\text{b}{\overline{\mathcal{M}}}^{\beta}_{0,1}(G,P)} \frac{1}{\hbar(c_\beta + \hbar)}$로 표현되며, 기하학적 구조와 등급화 코hom로지 사이의 연결고리가 된다.
• 이 프레임워크는 국소화와 그래프 공간 기법을 이용하여 [13]과 [18]의 일반 플래그 다양체에 대한 양자 코hom로지 결과에 대한 새로운 증명을 제공한다.
• 결과적으로 이 연구는 순간자 수세기, 아핀 토다 시스템, 시브르그-위튼 전위함수 사이의 다리 역할을 하며, 임의의 $G$에 대해 [23]의 주요 추측을 증명하는 데 기여할 기반을 마련한다.