[논문 리뷰] Instantons on ALE spaces for classical groups

Hiraku Nakajima|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 19.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 7인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 ADHM 구조를 ALE 공간 위의 인stanton에 대해 유니터리 군에서 고전적 군(SO(n) 및 Sp(n/2))로 확장한다. 이를 위해 다이어그램 자동형사상 $*$, 최장 웨일 군 원소에 대응하는 반사 함수 $Τ$, 그리고 전치 연산 $t$를 조합한 인보리션을 도입한다. 핵심 결과는 SO(n)/Sp(n/2) 프레임드 인stanton의 모듈리 공간이 U(n) 인stanton 모듈리 공간 위의 이 조합된 인보리션의 고정점 집합과 동형이라는 것이다.

ABSTRACT

We give an ADHM type description of instantons on ALE spaces for classical groups as an extension of the description in [KN90] for unitary groups.

연구 동기 및 목표

• ALE 공간 위의 인stanton에 대한 ADHM 기술을 유니터리 게이지 군에서 고전적 군, 특히 SO(n) 및 Sp(n/2)로 확장한다.
• 관련 도구는 존재하나 SO/Sp 인stanton의 ADHM 형태로의 명시적 기술이 부족한 문헌의 공백을 메운다.
• 반사 함수 $\mathcal{F}$, 다이어그램 자동형사상 $*$, 전치 연산 $t$를 사용하여 SO(n)/Sp(n/2) 인stanton 모듈리 공간을 완전하고 명시적으로 구성한다. 이는 [KN90]과 [Nak03]을 기반으로 한다.
• U(n) 인stanton 모듈리 공간 위의 복합 인보리션 $t \circ * \circ \mathcal{F}$의 고정점 집합이 SO(n)/Sp(n/2) 인stanton의 모듈리 공간을 실현한다는 것을 확립한다.
• 모듈리 공간의 Uhlenbeck 부분 컴actification으로의 확장을 다루며, 인보리션이 호메오멀피즘으로 확장되고 고정점 집합이 여전히 잘 정의됨을 보인다.

제안 방법

• McKay 대응을 통해 $\Gamma \subset \mathrm{SU}(2)$의 기약 표현 $\rho_i$를 애피니티 딘킨 다이어그램의 꼬리에 대응시킨다.
• 최장 웨일 군 원소 $w_0$에 의해 유도되는 $\rho_i^* \cong \rho_{i^*}$에 의한 다이어그램에 대한 인보리션 $*$를 정의하며, 이는 $A_\ell$의 경우 $i^* = \ell - i + 1$로 정의되고, $D_\ell$, $E_6$의 경우 유사한 규칙에 따라 꼬리들을 교환한다.
• 최장 웨일 군 원소 $w_0$에 관련된 반사 함수 $Τ$를 적용하여 $\zeta$ 및 $-\zeta$에 대한 ADHM 자료를 연결함으로써 쌍대 인stanton의 기술을 가능하게 한다.
• 게이지 군에 따라 심플렉틱 또는 직교 구조를 유지하는 이차형식을 통해 프레임링 공간 $W_i$ 위에 전치 연산 $t$를 정의한다.
• U(n) 인stanton 모듈리 공간 $\mathfrak{M}_\zeta^{\mathrm{reg}}(\mathbf{v},\mathbf{w})$ 위에 복합 인보리션 $t \circ * \circ \mathcal{F}$를 구성한다.
• 하이퍼카일러 모멘트 맵과 퀼리 표현 구조를 이용하여 이 인보리션의 고정점 집합이 SO(n)/Sp(n/2) 프레임드 인stant론의 모듈리 공간을 제공한다는 것을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 ALE 공간 위의 U(n) 인stanton에 대한 ADHM 구조를 SO(n) 및 Sp(n/2) 인stanton으로 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ2 최장 웨일 군 원소에 의해 유도되는 다이어그램 자동형사상 $*$는 쌍대 인stanton 모듈리 공간을 어떻게 연결하는가?
• RQ3 반사 함수 $Τ$는 $\zeta$ 및 $-\zeta$에 대한 ADHM 자료 간의 전환을 어떻게 촉진하는가?
• RQ4 U(n) 인stanton 모듈리 공간 위의 복합 인보리션 $t \circ * \circ \mathcal{F}$의 고정점 집합의 정확한 기하학적 및 대수적 구조는 무엇인가?
• RQ5 모듈리 공간의 Uhlenbeck 부분 컴actification에 대해 확장된 인보리션을 정의할 수 있으며, 고정점 집합이 여전히 잘 정의되는가?

주요 결과

• ALE 공간 $X_\zeta$ 위의 SO(n)/Sp(n/2) 프레임드 인stant론의 모듈리 공간은 U(n) 인stanton 모듈리 공간 위의 인보리션 $t \circ * \circ \mathcal{F}$의 고정점 집합과 동형이다.
• 인보리션 $t \circ * \circ \mathcal{F}$는 Uhlenbeck 부분 컴actification $\mathfrak{M}_\zeta(\mathbf{v},\mathbf{w})$ 위에서도 잘 정의되며, 컴actified 설정으로의 동형이 확장된다.
• 고정점 집합은 하이퍼카일러 다양체의 구조를 물려받으며, 대수기하학적 설정에서는 준사영 다양체가 된다.
• 이 구성은 다이어그램 자동형사상 $*$, 반사 함수 $Τ$, 전치 $t$ 간의 상호작용에 의존하며, 이차형식의 부호가 게이지 군(SO 또는 Sp)을 결정한다.
• $D_\ell$에서 $\ell$이 홀수일 경우, 인보리션 $*$은 다이어그램의 두 '꼬리'를 교환하며, 이에 따라 유도되는 표현 구조는 $\rho_i \cong \rho_i^*$의 직교/심플렉틱 성질을 결정한다.
• 이 방법은 [KN90]과 [Nak03] 이외의 새로운 입력이 필요하지 않으며, 결과는 증명 없이 기술되며 하이퍼카일러 기하학과 퀸리 다양체 이론에서 잘 알려진 도구에 의존한다.