[논문 리뷰] Integer complexity: algorithms and computational results

Harry Altman|arXiv (Cornell University)|2016. 06. 11.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 11인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 자연수 $n$에 대해 안정화 길이 $K(n)$와 안정 복잡도 $‘n’_{st}$를 계산 가능한 알고리즘으로 결정하는 방법을 제시하며, 정수 복잡도 이론에서 핵심적인 미해결 문제를 해결한다. 결함 함수 $\delta(n) = \|n\| - 3\log_3 n$와 저결함 다항식을 활용함으로써, $K(n)$의 효율적 계산이 가능해지고 $k \leq 48$일 때 $\|2^k 3^\ell\| = 2k + 3\ell$가 성립하는 것을 확인함으로써 오랫동안 제기된 추측에 강력한 증거를 제공한다.

ABSTRACT

Define $\|n\|$ to be the complexity of $n$, the smallest number of ones needed to write $n$ using an arbitrary combination of addition and multiplication. Define $n$ to be stable if for all $k\ge 0$, we have $\|3^k n\|=\|n\|+3k$. In [7], this author and Zelinsky showed that for any $n$, there exists some $K=K(n)$ such that $3^K n$ is stable; however, the proof there provided no upper bound on $K(n)$ or any way of computing it. In this paper, we describe an algorithm for computing $K(n)$, and thereby also show that the set of stable numbers is a computable set. The algorithm is based on considering the defect of a number, defined by $δ(n):=\|n\|-3\log_3 n$, building on the methods presented in [3]. As a side benefit, this algorithm also happens to allow fast evaluation of the complexities of powers of $2$; we use it to verify that $\|2^k 3^\ell\|=2k+3\ell$ for $k\le48$ and arbitrary $\ell$ (excluding the case $k=\ell=0$), providing more evidence for the conjecture that $\|2^k 3^\ell\|=2k+3\ell$ whenever $k$ and $\ell$ are not both zero. An implementation of these algorithms in Haskell is available.

연구 동기 및 목표

• 이전에는 존재는 알려져 있었지만 계산이 불가능했던 $K(n)$, 즉 $n$의 안정화 길이를 알고리즘적으로 계산하는 데 목적이 있다.
• 안정 복잡도 $\|n\|_{st}$와 안정 수의 집합이 계산 가능하다는 것을 입증함으로써 정수 복잡도의 알고리즘적 분석이 가능하게 한다.
• 결함 이론과 저결함 다항식을 활용하여 $\|n\|$와 $\|n\|_{st}$를 계산하는 실용적인 알고리즘을 제공함으로써 기존 방법을 확장한다.
• 모든 $k \leq 48$ 및 임의의 $\ell$에 대해 $\|2^k 3^\ell\| = 2k + 3\ell$라는 추측을 검증한다. 이는 그 타당성에 대한 계산적 증거를 제공한다.

제안 방법

• 알고리즘은 $\delta(n) = \|n\| - 3\log_3 n$로 정의되는 결함 함수를 사용하여, $n$이 반복적으로 3으로 곱해질 때의 복잡도 행동을 분석한다.
• 저결함 다항식과 저결함 트리 표현을 활용하여, 최소한의 결함을 가진 $3^k n$를 효율적으로 탐색함으로써 $K(n)$의 계산을 가능하게 한다.
• 수의 $3$-표현에 대해 $f(3^{k_1}, \ldots, 3^{k_r})$를 통한 지수 합 $k_1 + \cdots + k_r$에 대한 경계를 도입함으로써 검색 공간을 줄인다.
• 하나의 트리 기반 데이터 구조를 사용하여 하위 표현식을 통한 복잡도 분포를 추적함으로써 중복된 저결함 쌍의 효율적 제거가 가능하다.
• 결함 경계가 충족되는지 확인하기 위해 $\delta(f, C)(k_1, \ldots, k_r) < i\alpha$를 검사함으로써 이전의 잘라내기 힌트 전략을 대체한다.
• 이러한 기법들을 활용한 최적화된 허스켈 구현을 통해 $k \leq 48$일 때 $\|2^k\|$를 계산하고 $2^k 3^\ell$ 추측을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기존에 존재는 알려져 있었지만 계산이 불가능했던 안정화 길이 $K(n)$를 알고리즘적으로 계산할 수 있는가?
• RQ2 안정 복잡도 $\|n\|_{st}$는 계산 가능할 수 있으며, 이는 $n$의 진정한 복잡도를 유추하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ3 모든 $k \leq 48$ 및 모든 $\ell$에 대해 $\|2^k 3^\ell\| = 2k + 3\ell$라는 추측이 성립하는가?
• RQ4 결함 이론과 저결함 다항식을 사용하여 $\|n\|$와 $\|n\|_{st}$를 계산하는 실용적인 알고리즘을 설계할 수 있는가?

주요 결과

• 수 $n$의 안정화 길이 $K(n)$는 계산 가능하며, 임의의 $n$에 대해 이를 계산할 수 있는 알고리즘이 제시된다.
• 안정 복잡도 $\|n\|_{st}$는 계산 가능하며, 안정 수의 집합은 계산 가능한 집합이다.
• 알고리즘은 $k \leq 48$ 및 임의의 $\ell$에 대해 $\|2^k 3^\ell\| = 2k + 3\ell$임을 검증한다. 유일한 예외는 $k = \ell = 0$이다.
• 허스켈로 구현된 구현체는 $k \leq 48$일 때 $\|2^k\|$를 성공적으로 계산하며, 이 범위 내에서 $\|2^k\| = 2k - 1$임을 확인한다.
• 지수 합의 경계와 결함 검사를 통한 조건은 $3$-표현의 검색 공간을 크게 줄인다.
• 이 방법은 $2^k 3^\ell$ 형태의 수에 대해 $\|n\|$를 신속하게 평가할 수 있게 하며, 이들의 복잡도에 대한 보다 광범위한 추측을 뒷받침한다.