[논문 리뷰] Integrable crystals and restriction to Levi via generalized slices in the affine Grassmannian

Vasily Krylov|arXiv (Cornell University)|2017. 09. 01.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 6인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 랑랜즈 쌍대군 $\check{G}$ 의 아핀 그라스만이안에서의 일반화된 수직 자르기(slice)를 사용하여 재수성 군 $G$ 의 적통 결정체를 구축한다. 텐서곱 구조와 리만 제약은 슬라이스의 곱셈과 초구형 국소화와 같은 기하적 연산을 통해 실현되며, 펄스브 편재와 슬라이스의 코homology를 통해 결정체 구조와 표현 이론의 기하적 실현을 제공한다.

ABSTRACT

Let $G$ be a connected reductive algebraic group over $\mathbb{C}$. Let $Λ^{+}_{G}$ be the monoid of dominant weights of $G$. We construct the integrable crystals $\mathbf{B}^{G}(λ),\ λ\inΛ^{+}_{G}$, using the geometry of generalized transversal slices in the affine Grassmannian of the Langlands dual group. We construct the tensor product maps $\mathbf{p}_{λ_{1},λ_{2}}\colon \mathbf{B}^{G}(λ_{1}) \otimes \mathbf{B}^{G}(λ_{2}) ightarrow \mathbf{B}^{G}(λ_{1}+λ_{2})\cup\{0\}$ in terms of multiplication of generalized transversal slices. Let $L \subset G$ be a Levi subgroup of $G$. We describe the restriction to Levi $\operatorname{Res}^G_L\colon\operatorname{Rep}(G) ightarrow\operatorname{Rep}(L)$ in terms of the hyperbolic localization functors for the generalized transversal slices.

연구 동기 및 목표

• 재수성 군 $G$ 의 적통 결정체 $\mathbf{B}^G(\lambda)$ 를 랑랜즈 쌍대군 $\check{G}$ 의 아핀 그라스만이안에서의 일반화된 수직 자르기의 기하학을 사용하여 구축한다.
• 일반화된 수직 자르기의 곱셈을 통해 텐서곱 사상 $\mathbf{p}_{\lambda_1,\lambda_2}: \mathbf{B}^G(\lambda_1) \otimes \mathbf{B}^G(\lambda_2) \to \mathbf{B}^G(\lambda_1 + \lambda_2) \cup \{0\}$ 를 실현한다.
• 리만 부분군 $L \subset G$ 에 대해 제약 함자 $\operatorname{Res}^G_L: \operatorname{Rep}(G) \to \operatorname{Rep}(L)$ 를 일반화된 수직 자르기 위의 초구형 국소화 함자로 묘사한다.
• 코homological 실현을 통해 $\check{G}$ 의 기약 표현과 $T_\mu \cap \overline{\operatorname{Gr}}^\lambda_G$ 의 기약 성분 사이의 기하적 대응을 확립한다.

제안 방법

• 기하학적 사타케 동형사를 사용하여 $\check{G}$ 의 기약 표현을 아핀 그라스만이안 $\operatorname{Gr}_G$ 위의 $G(\mathcal{O})$--equivariant 펄스브 편재와 동치로 식별한다.
• 적통 결정체는 $T_\mu$ 의 영향 영역 다양체(여기서 $T_\mu$ 는 $2\rho_G$ 에 의해 유도된 $\mathbb{C}^*$-작용의 영향 영역)에 대한 $\coprod_{\mu \in \Lambda_G} \operatorname{Irr}(T_\mu \cap \operatorname{Gr}^\lambda_G)$ 의 기약 성분의 집합으로 실현된다.
• 텐서곱 구조는 슬라이스 위에 유도된 곱셈 사상 $\mathbf{m}: \operatorname{Gr}^{\lambda_1}_G \star \operatorname{Gr}^{\lambda_2}_G \to \operatorname{Gr}^{\lambda_1 + \lambda_2}_G$ 를 통해 모델링된다.
• 초구형 국소화 함자를 일반화된 수직 자르기 $\overline{\mathcal{W}}^\lambda_\mu$ 에 적용하여 가중치 공간을 계산하고 리만 부분군으로의 제약을 실현한다.
• 결정체 구조는 아핀 그라스만이안 내에서 슬라이스와 그 폐쇄의 기하학을 통해 정의된 카시와라 연산자의 작용을 통해 실현된다.
• 핵심 기술적 도구는 $\operatorname{F}_\mu(\operatorname{IC}(\lambda)) \simeq \mathbb{C}[\operatorname{Irr}(T_\mu \cap \operatorname{Gr}^\lambda_G)]$ 의 식별로, 코homology 를 성분의 조합론적 성질과 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 재수성 군 $G$ 의 적통 결정체는 그 랑랜즈 쌍대군의 아핀 그라스만이안을 사용하여 어떻게 기하학적으로 구축할 수 있는가?
• RQ2 일반화된 수직 자르기의 기하학적 곱셈을 통해 결정체의 텐서곱 구조는 어떻게 실현되는가?
• RQ3 일반화된 슬라이스 위의 초구형 국소화 함자는 $G$ 에서 리만 부분군 $L \subset G$ 로의 표현 제약을 어떻게 캡슐화하는가?
• RQ4 결정체 연산자의 기하학적 기원은 무엇이며, 텐서곱과의 호환성은 어떻게 보장되는가?
• RQ5 기본 기저의 기약 표현은 $T_\mu \cap \operatorname{Gr}^\lambda_G$ 의 기약 성분으로 기하학적으로 실현될 수 있는가?

주요 결과

• 적통 결정체 $\mathbf{B}^G(\lambda)$ 는 $\mathbb{C}^*$-작용을 통한 기하학적 정의로 $\coprod_{\mu \in \Lambda_G} \operatorname{Irr}(T_\mu \cap \operatorname{Gr}^\lambda_G)$ 로 자연스럽게 실현되며, 결정체 연산자는 기하학적으로 정의된다.
• 텐서곱 사상 $\mathbf{p}_{\lambda_1,\lambda_2}$ 는 곱셈 사상 $\mathbf{m}$ 에 의한 푸시포워드로 실현되며, 이미지가 최대 차원이 아니면 $\mathbf{m}^{\lambda_1,\lambda_2}_{\mu_1,\mu_2}(\mathbf{b}) = 0$ 이다.
• 제약 함자 $\operatorname{Res}^G_L$ 는 일반화된 수직 자르기 $\overline{\mathcal{W}}^\lambda_\mu$ 에 초구형 국소화 함자를 적용하여 실현되며, 표현의 제약을 기하학적으로 구성한다.
• $\mathbf{B}^G(\lambda)$ 의 결정체 구조는 닫혀 있으며 텐서곱과 호환되며, $\overline{\bf{\kappa}}$, $\tau$, $\overline{\mathbf{m}}$ 이 포함된 다이어그램의 교환성으로 보여진다.
• 일반화된 수직 자르기의 코homology 는 기약 표현의 가중치 공간을 실현한다: $\operatorname{F}_\mu(\operatorname{IC}(\lambda)) \simeq \mathbb{C}[\operatorname{Irr}(T_\mu \cap \operatorname{Gr}^\lambda_G)]$.
• 이 구축은 $V^\lambda_{\check{G}}$ 의 기본 기저를 $T_\mu \cap \operatorname{Gr}^\lambda_G$ 의 기약 성분을 통해 기하학적으로 실현하며, 최고 무게 벡터는 $z^\lambda$ 를 포함하는 성분에 대응한다.