[논문 리뷰] Integrable viscous conservation laws

Alessandro Arsie, Paolo Lorenzoni외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 01. 05.

Nonlinear Waves and Solitons참고 문헌 7인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 비해밀토니안, 점성 스칼라 보존법칙에 대해 두브로빈의 섭동 접근법을 확장하여 점성 중심 불변량을 도입함으로써 통합 가능한 변형을 매개변수화한다. 이는 미우라 변환을 통해 열 방정식 및 클라인-고든 계열로 변환시켜 결과 방정식의 통합 가능성을 증명하고, 기울기 붕괴가 발생하는 임계점에서의 행동을 기술하는 점성 피카르 라이프스 I2 방정식을 유도한다.

ABSTRACT

We propose an extension of the Dubrovin-Zhang perturbative approach to the study of normal forms for non-Hamiltonian integrable scalar conservation laws. The explicit computation of the first few corrections leads to the conjecture that such normal forms are parameterized by one single functional parameter, named viscous central invariant. A constant valued viscous central invariant corresponds to the well-known Burgers hierarchy. The case of a linear viscous central invariant provides a viscous analog of the Camassa-Holm equation, that formerly appeared as a reduction of a two-component Hamiltonian integrable systems. We write explicitly the negative and positive hierarchy associated with this equation and prove the integrability showing that they can be mapped respectively into the heat hierarchy and its negative counterpart, named the Klein-Gordon hierarchy. A local well-posedness theorem for periodic initial data is also proven. We show how transport equations can be used to effectively construct asymptotic solutions via an extension of the quasi-Miura map that preserves the initial datum. The method is alternative to the method of the string equation for Hamiltonian conservation laws and naturally extends to the viscous case. Using these tools we derive the viscous analog of the Painlevé I2 equation that describes the universal behaviour of the solution at the critical point of gradient catastrophe.

연구 동기 및 목표

• 해밀토니안 통합 가능한 체계에 대한 두브로빈의 섭동 방법을 비해밀토니안, 점성 스칼라 보존법칙으로 일반화한다.
• 미우라 변환을 통해 방정식 형태를 유지하면서 변형 매개변수에 대해 제5차까지의 통합 가능한 점성 보존법칙을 분류한다.
• 모든 이러한 변형을 지배하는 유일한 불변량으로 점성 중심 불변량이라는 단일 기능적 매개변수를 식별한다.
• 결과 방정식의 통합 가능성을 증명하기 위해 기존의 통합 가능한 계열(열 방정식 및 클라인-고든)과의 등가성을 보여준다.
• 기울기 붕괴 지점에서의 행동을 기술하는 점성 피카르 라이프스 I2 방정식의 유도

제안 방법

• 작은 매개변수 ε에 대한 보존법칙의 섭동 전개를 채택하며, 점성 보정항으로서 a(u)u_x 및 고차항을 포함한다.
• 통합 가능한 계열을 결정하는 유일한 기능적 매개변수로 점성 중심 불변량 a(u)를 도입한다.
• 방정식 형태를 유지하는 미우라 변환을 사용하여 불필요한 기능적 매개변수를 제거하고 변형을 분류한다.
• 점성 카마-홀름 방정식의 양음계열을 미우라 유형 변환을 통해 열 방정식 및 클라인-고든 계열로 매핑한다.
• 운반 방정식과 확장된 준-미우라 사상(준-미우라 맵)을 적용하여 초기 자료를 유지하는 점근 해를 구성한다.
• 스케일링 및 극한 분석을 통해 기울기 붕괴 지점 근처에서 점성 피카르 라이프스 I2 방정식을 도출하며, 재스케일링 및 콜-홉프 변환을 사용해 방정식을 선형화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두브로빈의 섭동 접근법은 비해밀토니안, 점성 스칼라 보존법칙으로 일반화될 수 있는가?
• RQ2 통합 가능한 점성 보존법칙의 공간은 단일 기능적 불변량으로 매개변수화되는가? 그 물리적 및 기하학적 의미는 무엇인가?
• RQ3 점성 카마-홀름 방정식의 통합 가능성 체계는 무엇이며, 기존의 알려진 통합 가능한 계열과의 관계는 어떠한가?
• RQ4 해가 기울기 붕괴 지점 근처에서 어떻게 행동하는가? 이 행동을 기술하는 보편 방정식은 무엇인가?
• RQ5 점성 설정에서 운반 방정식과 확장된 미우라 맵을 효과적으로 사용하여 점근 해를 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 통합 가능한 점성 보존법칙은 점성 중심 불변량 a(u)에 의해 유일하게 매개변수화되며, 상수 a(u)는 버거스 계열에 해당한다.
• 선형적인 a(u)의 경우 점성 카마-홀름 방정식의 유사체가 되며, 이는 통합 가능하고, 미우라 변환을 통해 열 방정식 및 클라인-고든 계열로 매핑된다.
• 점성 카마-홀름 방정식의 음계열과 양계열은 각각 음계열 열 방정식과 양계열 열 방정식과 등가적이다.
• 주기적 초기 자료에 대해 점성 경우의 국소 적으로 잘 정의된 정리(로컬 웰-포지드 테오럼)를 확립한다.
• 기울기 붕괴 지점 근처에서 해의 행동은 점성 피카르 라이프스 I2 방정식에 의해 지배된다: $ U_{XX} + 3UU_X + U^3 - UT = X $, 이는 스케일링 및 극한 분석을 통해 유도된다.
• 점성 피카르 라이프스 I2 방정식은 콜-홉프 변환을 통해 선형화되어 $ w_{XXX} - T w_X = X w $ 가 되며, 일반해는 일반화된 하이퍼기하함수 $_0F_2$ 로 표현된다.