[논문 리뷰] Integral and isocapacitary inequalities

Vladimir Maz’ya|ArXiv.org|2008. 09. 15.

Holomorphic and Operator Theory참고 문헌 13인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 조화 용량을 포함하는 날카운 적분 부등식을 수립하여, 첫 번째 딜리클레-라플라스 고유값에 대한 파벨-크라흐 성질을 암시한다. 별도의 구에 대해 별개의 성질을 가진 영역이라도 등용량 및 등면적 상수는 동치가 아니며, 새로운 유형의 등면적 및 등용량 부등식을 통해 일반화된 차분 세미노름-기울기 노름 부등식에 대한 필요 및 충분 조건을 제시한다.

ABSTRACT

It is shown by a counterexample that isocapacitary and isoperimetric constants of a multi-dimensional Euclidean domain starshaped with respect to a ball are not equivalent. Sharp integral inequalities involving the harmonic capacity which imply Faber-Krahn property of the fundamental Dirichlet-Laplace eigenvalue are obtained. Necessary and sufficient conditions ensuring integral inequalities between a difference seminorm and the $L_p$-norm of the gradient are found.

연구 동기 및 목표

• 다차원 유클리드 영역에서 등용량 상수와 등면적 상수의 동치성 여부를 조사한다.
• 조화 용량을 포함하는 날카운 적분 부등식을 유도하여, 첫 번째 딜리클레-라플라스 고유값에 대한 파벨-크라흐 성질을 암시한다.
• 차분 세미노름과 $L_p$-노름 간의 부등식에 대한 필요 및 충분 조건을 수립한다.
• 등면적 및 등용량 조건을 통해 곱공간 위의 측도를 포함하는 일반화된 파oincaré 유형 부등식의 타당성을 특성화한다.

제안 방법

• 구에 대해 별개의 성질을 가진 영역에서도 등용량 상수와 등면적 상수가 동치가 아님을 보여주는 반례를 구성한다.
• 상대적 조화 용량 $\mathrm{cap}(F;\Omega)$와 $L_2$-레이놀즈 비율을 사용하여 첫 번째 딜리클레 고유값 $\Lambda(\Omega)$에 대한 이중 추정을 유도한다.
• 면적적 상수 $\gamma(\Omega)$를 $H_{n-1}(\partial g)/m_n(g)$를 통해 정의하여 $\gamma(\Omega)^2 \leq 4\Gamma(\Omega)$를 증명한다. 여기서 $\Gamma(\Omega)$는 등용량 상수이다.
• 새로운 등면적 및 등용량 부등식을 통해 부등식 $\left(\int_\Omega\int_\Omega |u(x)-u(y)|^q \mu(dx,dy)\right)^{1/q} \leq C \|\nabla u\|_{L_p(\Omega)}$에 대한 필요 및 충분 조건을 유도한다.
• 일차원 경우에 대해 측도 $\nu''$와 조건 $\mu( [\alpha,\beta], \mathbb{R}\setminus(\alpha-r,\beta+r) ) \leq \text{const} \cdot r^{-q(1-p)/p}$를 포함하는 기준을 제시한다.
• 용량 기반 특성화를 통해 $\mathrm{cap}_{p,\mu}(F;\Omega) = \inf \{ \langle u \rangle_{p,\mu}^p : u \geq 1 \text{ on } F \} $를 사용하여 추적 유형 부등식에 대한 필요 및 충분 조건을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 구에 대해 별개의 성질을 가진 영역에 대해 등용량 상수와 등면적 상수가 동치인가?
• RQ2 부등식 $\left(\int_\Omega\int_\Omega |u(x)-u(y)|^q \mu(dx,dy)\right)^{1/q} \leq C \|\nabla u\|_{L_p(\Omega)}$가 성립하기 위한 필요 및 충분 조건은 무엇인가?
• RQ3 일반적인 $\mu$에 대해 일반 등용량 조건 $\sup_F \frac{\nu(F)^{p/q}}{\mathrm{cap}_{p,\mu}(F;\Omega)} < \infty$를 구만을 포함하는 조건으로 대체할 수 있는가?
• RQ4 추적 부등식 $\int_{\mathbb{R}^n} |u|^p \nu(dx) \leq c \|(-\Delta)^{\alpha/2}u\|_{L_p}^p$에 대한 날카운 조건은 무엇인가?
• RQ5 추적 부등식에 대한 기준 (i)–(iii)는 $\mu$가 $|x-y|^{-n-p\alpha}dx\,dy$로 주어질 경우 일반화된 차분 세미노름-기울기 부등식과 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• 반례를 통해 등용량 상수와 등면적 상수가 구에 대해 별개의 성질을 가진 영역에서도 동치가 아님을 입증하였다.
• 부등식 $\left(\int_\Omega\int_\Omega |u(x)-u(y)|^q \mu(dx,dy)\right)^{1/q} \leq C \|\nabla u\|_{L_p(\Omega)}$는 $q \geq p = 1$ 또는 $q > p > 1$에 따라 새로운 유형의 등면적 또는 등용량 부등식이 만족될 때에만 성립함을 보였다.
• $u \in C_0^\infty(\mathbb{R})$인 경우, $\mu( [\alpha,\beta], \mathbb{R}\setminus(\alpha-r,\beta+r) ) \leq \text{const} \cdot r^{-q(1-p)/p}$ 이며, $\alpha, \beta, r$에 대해 일관되게 성립할 경우 부등식이 성립한다.
• $K < \infty$ 조건, 여기서 $K = \int_0^\infty s^{p-1} |\nu'(s)| ds$, 는 부등식 $\int_\mathbb{R}\int_\mathbb{R} |u(t)-u(\tau)|^p \nu''(t-\tau) dt d\tau \leq C \int_\mathbb{R} |u'(t)|^p dt$에 대해 날카로운 조건이다.
• $\mu(dx,dy) = |x-y|^{-n-p\alpha} dx dy$ 이고 $0 < \alpha < 1$, $\alpha p < n$ 인 경우, 부등식 (81)이 성립함과 동치인 조건은 $\sup_{x,\rho} \frac{\nu(B(x,\rho))^{p/q}}{\rho^{n-p\alpha}} < \infty$ 이다.
• $\mu$가 이와 같이 주어질 경우 추적 부등식 $\int_{\mathbb{R}^n} |u|^p \nu(dx) \leq c \|(-\Delta)^{\alpha/2}u\|_{L_p}^p$는 (81)과 동치이며, 이는 이차 큐브, 리프스 잠재력, 약형 추정을 포함하는 기준 (i)–(iii)로 특성화된다.