[논문 리뷰] Integral formulas for a Riemannian manifold with several orthogonal complementary distributions

Vladimir Rovenski|arXiv (Cornell University)|2020. 08. 05.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 9인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 리만다이안 다양체의 두 직교 분할에서의 적분 곡률 공식을 $k > 2$개의 직교적이고 상보적인 분할으로 일반화한다. 혼합 스칼라 곡률, 제2 기본형, 평균 곡률 벡터, 통합성 텐서를 포함하는 발산 공식을 유도함으로써, 저자들은 폐포된 다양체에서 0이 되는 새로운 적분 항등식을 확립한다. 이는 $k=2$의 경우에 알려진 결과를 확장하며, 분할 정리, 등장각 임베딩, 일정한 다중성 주요 곡률을 가진 초표면에의 응용을 가능하게 한다.

ABSTRACT

In the paper we prove integral formulae for a Riemannian manifold endowed with $k>2$ orthogonal complementary distributions, which generalize well-known formula for $k=2$ and give applications to splitting and isometric immersions of Riemannian manifolds, in particular, multiply warped products, and to hypersurfaces with $k>2$ distinct principal curvatures of constant multiplicities.

연구 동기 및 목표

• 리만다이안 다양체에서 두 직교 분할에 대한 기존의 적분 공식을 $k > 2$개의 직교적이고 상보적인 분할의 경우로 확장한다.
• 혼합 스칼라 곡률, 제2 기본형, 평균 곡률 벡터, 분할의 통합성 텐서를 포함하는 발산 공식을 유도한다.
• 새로운 공식을 리만 기하학의 전역 문제에 적용한다. 이는 분할 정리, 등장각 임베딩, $k>2$개의 서로 다른 주요 곡률을 가지며 일정한 다중성을 갖는 초표면을 포함한다.
• 폐포된 다양체에서 0이 되는 적분 항등식을 확립하며, $k=2$의 경우를 일반화하고 곡률 기반 분류를 가능하게 한다.

제안 방법

• 혼합 스칼라 곡률 $\mathrm{S}_{\mathrm{mix}}$를 서로 다른 분할에서 온 벡터들이 생성하는 평면들의 섹션 곡률의 합으로 정의한다.
• 각 분할 $\mathcal{D}_i$에 대해 제2 기본형 $h_i$, 평균 곡률 벡터 $H_i$, 통합성 텐서 $T_i$를 도입한다.
• 모든 분할의 평균 곡률 벡터 $\sum_i H_i + \sum_{i<j} H_{ij}$의 합에 대한 발산 공식을 유도한다. 이는 혼합 스칼라 곡률과 $h_i$, $H_i$, $T_i$의 이차항의 합과 같다.
• 스토크스 정리를 발산 표현에 적용하여, 폐포된 다양체에서 적분이 0이 되도록 한다.
• 일반 공식을 $k=3$개의 서로 다른 주요 곡률을 가지며 일정한 다중성을 갖는 공간형 $\bar{M}(c)$ 안의 초표면의 경우로 특수화한다.
• 분할에 적합한 정규직교 기저를 사용하고, 주요 곡률 함수 $\mu_i$의 기울기로 $h_i$, $H_i$, $T_i$의 노름을 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 리만다이안 다양체에서 두 직교 분할에 대한 적분 공식을 $k > 2$개의 직교적이고 상보적인 분할의 경우로 일반화할 수 있는가?
• RQ2 다음과 같은 $k$-곱의 구조에서 모든 분할의 평균 곡률 벡터와 그 쌍별 합의 발산은 무엇인가?
• RQ3 혼합 스칼라 곡률은 $k>2$의 경우 제2 기본형, 평균 곡률, 통합성 텐서와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 폐포된 다양체에서 발산 표현의 적분이 0이 되는 것으로부터 어떤 전역 기하학적 결과가 도출되는가?
• RQ5 주어진 공식은 $k>2$개의 서로 다른 주요 곡률을 가지며 일정한 다중성을 갖는 초표면에 대해 어떤 함의를 갖는가?

주요 결과

• 모든 분할의 평균 곡률 벡터 $\sum_i H_i + \sum_{i<j} H_{ij}$의 합의 발산은 혼합 스칼라 곡률 $\mathrm{S}_{\mathrm{mix}}$와 $h_i$, $H_i$, $T_i$의 이차항의 합과 같으며, 이는 폐포된 다양체에서 적분이 0이 되게 한다.
• 다음과 같은 표현의 적분은 $k=3$인 공간형 $\bar{M}(c)$ 안의 폐포된 초표면에서 0이 된다: $\sum_{i<j} n_i n_j (c + \mu_i \mu_j) + 2\sum_i n_i(1-n_i)\left(\frac{\|P_j \nabla \mu_i\|^2}{(\mu_i - \mu_j)^2} + \frac{\|P_l \nabla \mu_i\|^2}{(\mu_i - \mu_l)^2}\right)$.
• 공식은 $k=2$의 경우를 일반화하며, 동일한 구조를 유지하지만 $k>2$개의 분할과 쌍별 상호작용으로 확장된다.
• 0이 되는 적분은 강력한 전역 제약 조건을 의미한다. 만약 피적분 함수가 정정의 양의 정의이면, 그러한 다양체는 존재할 수 없으며, 이는 특정 분할 또는 임베딩의 존재 불가능성을 암시한다.
• 세 개의 서로 다른 주요 곡률을 가지며 일정한 다중성을 갖는 초표면의 경우, 공식은 곡률 함수의 기울기를 포함하는 곡률 기하학적 항등식을 도출한다.
• 세 쌍에 대해 대칭적 상쇄가 일어나기 때문에, 합 $\sum_{i<j} (\|h_{ij}|_{V_{ij}}\|^2 - \|T_{ij}|_{V_{ij}}\|^2)$ 는 0이 된다. 이는 전체 표현을 단순화시킨다.