[논문 리뷰] Integral models of Shimura varieties with parahoric level structure

Mark Kisin, G. Pappas|arXiv (Cornell University)|2015. 12. 03.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 19인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 $p > 2$ 인 소수에서 파라호릭 수준 구조를 가진 슈뮈라 다양체에 대한 정수 모델을 구축한다. 그 조건은 군 $G$ 가 아벨 유형이면서 $ℝ_p$ 의 약간의 분해 확장에서 분해된다는 것이다. 이러한 모델의 국소적 구조는 군론적으로 정의된 '국소 모델'을 통해 기술되며, 저자들은 이웃하는 사이클의 층이 코트비츠의 추측, 즉 단순형 프로베니우스의 추적을 파라호릭 허크 대수의 버네스타인 함수와 명시적으로 연결하는 것을 증명한다.

ABSTRACT

For an odd prime p, we construct integral models over p for Shimura varieties with parahoric level structure, attached to Shimura data (G,X) of abelian type, such that G splits over a tamely ramified extension of Q_p. The local structure of these integral models is related to certain "local models", which are defined group theoretically. Under some additional assumptions, we show that these integral models satisfy a conjecture of Kottwitz which gives an explicit description for the trace of Frobenius action on their sheaf of nearby cycles.

연구 동기 및 목표

• 소수 $p > 2$ 에서 파라호릭 수준 구조를 가진 슈뮈라 다양체에 대해 $\mathcal{O}_E$-정수적, 평탄한 모델을 구축하여 반사 체 $E$ 위의 표준 모델을 확장한다.
• 이 정수 모델의 국소적 구조가 그라스만يان에서의 궤도 폐쇄로 정의된 군론적으로 명시적인 '국소 모델'과 어떻게 관련되는지 규명한다.
• 코트비츠의 추측, 즉 이웃하는 사이클의 층에서 단순형 프로베니우스의 추적을 파라호릭 허크 대수의 버네스타인 함수로 묘사하는 것을 검증한다.
• 특히 아벨 유형이면서 약간의 분해가 일어나는 경우에 대해, 랭글랜즈–코트비츠 방법을 파라호릭 수준의 경우로 확장한다.

제안 방법

• 평탄한 $\mathcal{O}_E$-스킴에 대한 확장 성질을 이용하여 정수 모델을 구축함으로써, $G(\mathbb{A}_f^p)$-작용과 작은 컴acts 오픈 부분군의 몫과의 호환성을 확보한다.
• 브루하트-티츠 이론을 사용하여 빌딩 $\mathcal{B}(G, \mathbb{Q}_p)$ 의 점과 파라호릭 부분군 $\mathsf{K}_p^\circ \subset G(\mathbb{Q}_p)$ 를 대응시키며, 이로부터 $\mathbb{Z}_p$ 위의 매끄러운 군 스킴 $\mathcal{G}^\circ$ 를 얻는다.
• 국소 모델 $\mathrm{M}^{\mathrm{loc}}_{G,X}$ 는 그라스만يان에서의 궤도 폐쇄로 정의되며, $\mathcal{G}^\circ$ 의 작용을 지닌다. 이는 국소-글로벌 호환성을 통해 전역 정수 모델과 연결된다.
• 이론적 변형 이론을 이용하여 $p$-나누어지는 군의 디스플레이 또는 크리스탈린 사이클을 분석함으로써 정수 모델의 국소적 구조를 분석한다.
• 허크 대수의 비교를 통해 버네스타인 동형사상을 이용하여 문제를 축소하고, 파라호릭 허크 대수의 중심에 있는 관련 버네스타인 함수를 식별한다.
• 버네스타인 및 사타케 동형사상의 호환성을 이용하여 국소 모델의 특성 함수를 이웃하는 사이클의 프로베니우스 추적과 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 소수 $p > 2$ 에서 파라호릭 수준 구조를 가진 슈뮈라 다양체에 대해, 군 $G$ 에 대한 약간의 조건 하에 정수 모델을 구축할 수 있는가?
• RQ2 이러한 정수 모델의 국소적 구조는 어떻게 군론적으로 정의된 '국소 모델'과 관련이 있는가?
• RQ3 이 정수 모델의 이웃하는 사이클 층에서 단순형 프로베니우스의 추적은 코트비츠의 추측을 만족하는가?
• RQ4 이웃하는 사이클의 프로베니우스 추적은 파라호릭 허크 대수의 버네스타인 함수로 명시적으로 표현될 수 있는가?
• RQ5 군 $G$ 가 비분해일 경우, 이웃하는 사이클에 대한 관성 작용의 역할은 무엇인가?

주요 결과

• $E$-스킴 $\mathrm{Sh}_{\mathsf{K}^\circ_p}(G,X)$ 는 $G(\mathbb{A}_f^p)$-등변 평탄한 정수 모델 $\mathscr{S}_{\mathsf{K}^\circ_p}(G,X)$ 를 $\mathcal{O}_E$ 위에서 가지며, 확장 성질을 만족한다.
• 군 $G$ 가 비분해이면서 $p \nmid |\pi_1(G^{\mathrm{der}})|$ 라면, 관성 군은 정수 모델의 이웃하는 사이클 층에 대해 유니포텐트하게 작용한다.
• 점 $y \in \mathscr{S}(\mathbb{F}_q)$ 에서의 이웃하는 사이클의 단순형 프로베니우스 추적은 $q^{d/2} z_{\mu,r}(w)$ 로 주어지며, 여기서 $w \in \mathrm{M}^{\mathrm{loc}}_{G,X}$ 는 $y$ 와 대응되며 $z_{\mu,r}$ 는 파라호릭 허크 대수 $C_c(P_r \backslash G(E_r)/P_r)$ 의 중심에 속하는 버네스타인 함수이다.
• 국소 모델과 관련된 함수 $\varphi_r$ 는 버네스타인 동형사상 아래에서 이중 코셋에 대응하는 특성 함수가 되는 유일한 중심 함수로 식별된다.
• $C_r(\mathsf{P}'_r \backslash G'(\mathbb{F}_q((t)))/\mathsf{P}'_r) \cong C_c(P_r \backslash G(E_r)/P_r)$ 의 동형사상은 버네스타인 함수 $z'_{\mu',r}$ 을 $z_{\mu,r}$ 로 매핑하며, 이는 국소 및 글로벌 추적 공식 간의 호환성을 확인한다.
• 결과는 $(G^{\mathrm{ad}}, X^{\mathrm{ad}})$ 가 유형 $D^\mathbb{H}$ 인 성분을 가지지 않거나 $\mathsf{K}_p^\circ$ 가 초특수 부분군에 포함되는 조건 하에 성립한다.