[논문 리뷰] Integral $p$-adic \'etale cohomology of Drinfeld symmetric spaces

Pierre Colmez, Gabriel Dospinescu외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 05. 27.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 16인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 p-진 필드 위에서 정의된 임의의 차원의 드리플레인 대칭 공간의 정수 계수 p-진 에테ール 코homology를 계산하며, 이는 이전의 유리수 계수 p-진 코homology 결과를 개선한 것이다. A_inf-코homology와 정수 계수 p-진 비교 정리—특히 유도된 나카야마 보조정리와 A_inf-코homology의 인접 사이클과의 호환성—을 이용하여, 코homology 군이 일반화된 스텐버그 표현의 쌍대체와 위상적으로 G × G_K-모듈로 동형임을 입증한다. 주요 결과는 이러한 표현을 통해 정수 계수 코homology를 완전히 기술한 것으로, 이는 이전의 결과를 정수 계수 설정으로 확장한 것이다.

ABSTRACT

We compute the integral $p$-adic \'etale cohomology of Drinfeld symmetric spaces of any dimension. This refines the computation of the rational $p$-adic \'etale cohomology from Colmez-Dospinescu-Nizio{\l}. The main tools are: the computation of the integral de Rham cohomology from CDN and the integral $p$-adic comparison theorems of Bhatt-Morrow-Scholze and \v{C}esnavi\v{c}ius-Koshikawa which replace the quasi-integral comparison theorem of Tsuji used in CDN.

연구 동기 및 목표

• 드리플레인 대칭 공간의 유리수 계수 p-진 에테ール 코homology 계산을 정수 계수 설정으로 개선한다.
• 모든 $ i \geq 0 $ 과 차원 $ d $ 에 대해 정수 계수 p-진 에테ール 코homology 군 $ H^i_{\text{ét}}(H^d_C, \mathbb{Z}_p(i)) $ 를 계산한다.
• 이러한 코homology 군과 일반화된 스텐버그 표현의 쌍대체 $ \mathrm{Sp}_i(\mathbb{Z}_p)^* $ 사이의 위상적 $ G \times G_K $-모듈로 동형을 확립한다.

제안 방법

• 드리플레인 대칭 공간 $ X = H^d_C $ 의 에테ール 사이트에서 Fontaine의 $ A_{\inf} $-환과 상대적 프로-에테ール 코homology를 이용해 구성된 $ A\Omega_X $ 의 A_inf-코homology 복합체를 사용한다.
• Bhatt-Morrow-Scholze와 Česnavičius-Koshikawa의 정수 계수 p-진 비교 정리를 적용하여 $ A\Omega_X $ 를 de Rham 및 에테ール 코homology와 연결한다.
• 유도된 나카야마 보조정리를 사용하여 $ A_{\inf} $-코homology에서의 동형을 증명하는 문제를 $ \tilde{\xi} $ 모듈로에서의 확인으로 감소시키며, Hodge-Tate 특수화를 이용한다.
• 에테ール 조정 사상 $ r_{\text{ét}}: \mathrm{Sp}_i(\mathbb{Z}_p)^* \to H^i_{\text{ét}}(X, \mathbb{Z}_p(i)) $ 를 구성하며, 이는 $ A_{\inf} $-선형 사상 $ r_{\inf} $ 로 $ H^i_{\text{ét}}(X, A\Omega_X\{i\}) $ 로 올린다.
• $ p $-진 인접 사이클과 $ A\Omega_X $-코homology 사이의 정확한 수열을 사용한다: $ 0 \to H^{i-1}_{\text{ét}}(X, A\Omega_X\{i\})/(1 - \phi^{-1}) \to H^i_{\text{ét}}(X, \mathbb{Z}_p(i)) \to H^i_{\text{ét}}(X, A\Omega_X\{i\})^{\phi^{-1}=1} \to 0 $.
• $ A_{\inf} $-코homology 군 $ H^i_{\text{ét}}(X, A\Omega_X\{i\}) $ 가 $ A_{\inf} \widehat{\otimes}_{\mathbb{Z}_p} \mathrm{Sp}_i(\mathbb{Z}_p)^* $ 와 동형임을 입증하며, 이는 조정 사상과 Hodge-Tate 특수화의 호환성 및 de Rham 복합체의 약한 계기성에 기반한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 드리플레인 대칭 공간의 차원 $ d $ 에 대해 정수 계수 $ p $-진 에테ール 코homology $ H^i_{\text{ét}}(H^d_C, \mathbb{Z}_p(i)) $ 의 구조는 무엇인가?
• RQ2 정수 계수 $ p $-진 코homology 는 어떻게 $ A_{\inf} $-코homology 와 반세미정상 모델의 de Rham 코homology 와 연결될 수 있는가?
• RQ3 유도된 나카야마 보조정리는 $ p $-진 호지 이론에서 정수 계수 동형을 증명하는 데 효과적으로 적용될 수 있는가?
• RQ4 $ A_{\inf} $-코homology 복합체 $ A\Omega_X $ 는 비유한형 다양체의 $ p $-진 에테ール 코homology 를 계산하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 코homology 군의 $ \phi^{-1} $-등변성은 일반화된 스텐버그 표현의 구조와 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 정수 계수 $ p $-진 에테ール 코homology $ H^i_{\text{ét}}(H^d_C, \mathbb{Z}_p(i)) $ 는 위상적 $ G \times G_K $-모듈로 일반화된 스텐버그 표현의 쌍대체 $ \mathrm{Sp}_i(\mathbb{Z}_p)^* $ 와 동형이다.
• $ A_{\inf} $-코homology 군 $ H^i_{\text{ét}}(X, A\Omega_X\{i\}) $ 는 $ A_{\inf} \widehat{\otimes}_{\mathbb{Z}_p} \mathrm{Sp}_i(\mathbb{Z}_p)^* $ 와 동형이며, $ \phi^{-1} $-등변성을 가진다.
• $ A_{\inf} $-코homology 의 $ \tilde{\xi} $ 모듈로 환원은 Hodge-Tate 코homology $ H^0_{\text{ét}}(X, \Omega^i_X) $ 와 동형이며, 이 동형은 조정 사상과 호환된다.
• 목표 코homology 군 $ H^i_{\text{ét}}(X, A\Omega_X\{i\}) $ 는 $ \tilde{\xi} $-탄성 자유이므로, 유도 완비화와 환원이 호환됨을 시사한다.
• 인접 사이클 정확한 수열에 의해 $ H^i_{\text{ét}}(X, \mathbb{Z}_p(i)) $ 는 $ H^i_{\text{ét}}(X, A\Omega_X\{i\})^{\phi^{-1}=1} $ 와 동형이며, 이는 $ \mathrm{Sp}_i(\mathbb{Z}_p)^* $ 와 동형이다.
• $ i > d $ 인 경우, 모든 코homology 군 $ H^i_{\text{ét}}(H^d_C, \mathbb{Z}_p(i)) $, $ H^i_{\text{ét}}(H^d_C, \mathbb{F}_p(i)) $, $ H^i_{\text{ét}}(H^d_C, \mathbb{Q}_p(i)) $ 는 영이 되며, 이는 고차수에서의 기대되는 소멸을 확인한다.