[논문 리뷰] Integral-Partial Differential Equations of Isaacs' Type Related to Stochastic Differential Games with Jumps

Rainer Buckdahn, Ying Hu외 1명|arXiv (Cornell University)|2010. 04. 16.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 18인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 제로섬 스토크라스틱 미분 게임에 점프가 존재하고 제어가 경로에 의존할 경우 비용 기능이 랜덤 변수가 되지만, 상한 및 하한 가치 함수가 결정론적임을 증명한다. 점프를 포함한 후행 확률 미분 방정식(BSDE)과 유클리드-포아송 공간 위에서의 새로운 변환을 통해 저자들은 이러한 가치 함수가 해밀턴-조보-벨리만-아이작스 유형의 적분-편미분 방정식의 유일한 점성해임을 보이며, 아이작스 조건이 만족될 경우 게임의 가치가 존재함을 증명한다.

ABSTRACT

In this paper we study zero-sum two-player stochastic differential games with jumps with the help of theory of Backward Stochastic Differential Equations (BSDEs). We generalize the results of Fleming and Souganidis [10] and those by Biswas [3] by considering a controlled stochastic system driven by a d-dimensional Brownian motion and a Poisson random measure and by associating nonlinear cost functionals defined by controlled BSDEs. Moreover, unlike the both papers cited above we allow the admissible control processes of both players to depend on all events occurring before the beginning of the game. This quite natural extension allows the players to take into account such earlier events, and it makes even easier to derive the dynamic programming principle. The price to pay is that the cost functionals become random variables and so also the upper and the lower value functions of the game are a priori random fields. The use of a new method allows to prove that, in fact, the upper and the lower value functions are deterministic. On the other hand, the application of BSDE methods [18] allows to prove a dynamic programming principle for the upper and the lower value functions in a very straight-forward way, as well as the fact that they are the unique viscosity solutions of the upper and the lower integral-partial differential equations of Hamilton-Jacobi-Bellman-Isaacs' type, respectively. Finally, the existence of the value of the game is got in this more general setting if Isaacs' condition holds.

연구 동기 및 목표

• 스토크라스틱 미분 게임에 점프와 경로에 의존하는 제어를 포함하여 플레밍과 수오니디스의 프레임워크를 확장한다.
• 제어가 과거 전체 경로에 의존할 경우 비용 기능이 랜덤 변수가 되는 문제를 다루며, 가치 함수가 여전히 결정론적임을 증명한다.
• 점프를 포함한 일반적인 설정에서 BSDE 방법을 사용하여 동적 프ogramming 원리를 수립한다.
• 상한 및 하한 가치 함수가 아이작스 유형의 적분-편미분 방정식의 유일한 점성해임을 보인다.
• 이 확장된 프레임워크에서 아이작스 조건이 만족될 경우 게임의 가치 존재성을 증명한다.

제안 방법

• 비선형 비용 기능을 모델링하기 위해 점프를 포함한 이重제어 후행 확률 미분 방정식(BSDE)을 도입한다.
• 경로에 의존하는 제어가 존재할 경우에도 가치 함수가 결정론적으로 유지됨을 증명하기 위해 유클리드-포아송 공간 위에서의 새로운 변환을 적용한다.
• 팽의가 도입한 확률적 후행 준군을 사용하여 동적 프로그래밍 원리의 증명을 단순화한다.
• 비교 정리와 근사 기법(예: 분할과 정지 시간을 통한)을 활용하여 점성해 성질을 다룬다.
• 상한 및 하한 가치 함수를 해밀턴-조보-벨리만-아이작스 유형의 적분-편미분 방정식의 해로 유도한다.
• 아이작스 조건이 만족될 경우 가치 함수의 결정론적 성격을 활용하여 게임의 가치 존재성을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 제어가 전체 과거 궤적에 의존할 경우 점프가 존재하는 스토크라스틱 미분 게임에서 동적 프로그래밍 원리가 수립될 수 있는가?
• RQ2 경로에 의존하는 제어로 인해 비용 기능이 랜덤 변수가 되더라도 상한 및 하한 가치 함수는 여전히 결정론적인가?
• RQ3 점프를 포함한 BSDE 방법을 사용하여 이 확장된 프레임워크에서 동적 프로그래밍 원리와 점성해를 도출할 수 있는가?
• RQ4 점프가 존재할 경우에도 가치 함수의 결정론성을 유지할 수 있도록 유클리드-포아송 공간 위에서 새로운 변환을 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ5 이 일반화된 설정에서 점프가 존재하는 스토크라스틱 미분 게임의 가치가 어떤 조건에서 존재하는가?

주요 결과

• 경로에 의존하는 제어로 인해 비용 기능이 랜덤 변수가 되더라도 상한 및 하한 가치 함수는 결정론적이다.
• 점프와 경로에 의존하는 제어가 존재하는 확장된 프레임워크에서 상한 및 하한 가치 함수에 대해 동적 프로그래밍 원리가 성립한다.
• 상한 및 하한 가치 함수는 해밀턴-조보-벨리만-아이작스 유형의 적분-편미분 방정식의 유일한 점성해이다.
• 아이작스 조건이 만족될 경우 상한 및 하한 가치 함수가 일치하므로 게임의 가치가 존재한다.
• 점프를 포함한 BSDE와 유클리드-포아송 공간 위에서의 새로운 변환을 활용함으로써 동적 프로그래밍 원리와 점성해 성질의 간결한 증명이 가능해진다.
• 결과적으로 플레밍과 수오니디스, 비스와스의 이전 연구를 점프와 경로에 의존하는 제어를 통합한 통합적이고 엄밀한 프레임워크로 일반화한다.